Théorème de la puissance mécanique application : exercice de sciences physiques de maths sup

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Théorème de la puissance mécanique application
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Arnaud7373  27-10-09 à 11:08
Bonjour à tous, voici l'énoncé du problème :

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on s'intéresse à la chute dans l'air d'un projectile assimilé à un point matériel M de masse m, soumis à son poids et à une force de frottement fluide F=-hv. A t=0, L est lâché sans vitesse initiale du point O. Le mouvement est rectiligne selon l'axe vertical vers le bas, O,.

1) Montrer par application du théorème de la puissance mécanique que l'équa diff vérifiée par la vitesse v est : dv/dt + v/ = g. 

Réponse : La définition du théorème demandé est : dEm/dt = P(Forces non conservatives), autrement dit à dEm/dt = P(F).

dEm/dt est bien égal à dEc + dEp ? Soit à 1/2mv^2 - mgz ? Mais je vois pas comment on peut trouver le lien avec la puissance, surtout que j'arrive pas à exprimer la puissance.

4) Montrer à l'aide de développements limités que pour t/1, on retrouve pour v(t) et z(t) les expressions obtenues lorsque la résistance de l'air est négligée.

Réponse : Je sais qu'il faut dire que exp(x) 1+x ou 1+x+x^2/2 mais je vois pas où je dois le remplacer pour trouver la même expression.

SQ : Une question me demande de déterminer z(t) et v(t), voilà mes résultats :

v(t) = g (1- exp(-t/).

z(t) = gt + g2t (exp(-t/)

Merci d'avance !

Arnaud
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donaldosre : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:40
La puissance instantanée des forces non conservatives s'écrit simplement 

Il ne te reste qu'à dériver l'expression de l'énergie mécanique et d'écrire l'égalité avec la puissance des forces non conservatives.

Ce qui est amusant ici c'est que l'expression que l'on te demande de trouver en manipulant la puissance mécanique n'est ni plus ni moins que l'expression du PFD... Jolie perte de temps ^^ 
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Arnaud7373re : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:45
Effectivement, j'ai posé le PFD au début par habitude et suis tombé directement sur l'expression demandée, mais j'ai relu l'énoncé et j'ai vu qu'il fallait utiliser le TPM...

Merci pour cette aide !
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Arnaud7373re : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:50
En dérivant l'expression de l'énergie mécanique, je ne tombe pas sur le résultat souhaité... :/

En dérivant, j'obtiens : mv + mg ... ?!
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donaldosre : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:51
Attention, dérivation par rapport au temps....
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Arnaud7373re : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:52
Mais v et z sont bien fonction du temps ?

Donc dérivée de 1/2mv^2 c'est mv, et dérivée de mgz c'est bien mg, si z est fonction du temps? 

Je suis perdu..
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donaldosre : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 11:57
Tu as dérivé comme si l'on dérivait tantôt par rapport à  tantôt par rapport à .

Par exemple,  non?
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Arnaud7373re : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 12:10
Ahhh daccord, dans ce cas j'obtiens bien l'expression souhaitée! 

Pouvez-vous me dire si mes expressions de z(t) et v(t) sont correctes? Elles me semblent bonnes mais je n'en suis pas si sûr !

Merci d'avance !
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donaldosre : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 12:17
Elles m'ont l'air correct mais il y a un  en trop avant l'exponentielle dans l'expression de  (ton expression n'est plus homogène).
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Arnaud7373re : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 12:18
Ah oui je l'ai pas marqué sur ma feuille pourtant, faute de frappe.

Merci beaucoup, et bonne fin de journée 
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donaldosre : Théorème de la puissance mécanique application  27-10-09 à 12:23
A toi aussi.