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Théorème de l'energie cinétique

Posté par
tauste 09-06-23 à 16:49

Boujour,
Je ne comprends pas, dans une des démonstrations du théorème de l'énergie cinétique:
on dit que dv/dt . dv  rappelle u ' *  u donc dv/dt . dv = d(1/2v^2)/dt

Or dv/dt . dv est un produit scalaire, et non une multiplication.
On ne peut donc pas dire que dv/dt . dv est de la forme u' * u.
Enfin si car je l'ai vu plusieurs fois mais je ne comprends pas...

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 17:56

Bonjour

Il y a effectivement un problème dans ta démontration. En voici une possible, appliquée à une masse ponctuelle dans un référentiel galiléen. Il suffit de partir de la relation fondamentale de la dynamique en multipliant scalairement par la vitesse les deux termes.

\overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}=m\cdot\overrightarrow{v}\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}

Le terme de gauche représente la puissance de la résultante des forces et le terme de droite représente simplement la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique :

p=\frac{dE_{c}}{dt}

Ce résultat, connu sous le nom de “théorème de l'énergie puissance”, est systématiquement utilisé en mécanique des sciences de l'ingénieur mais peu utilisé ( à tort à mon avis) par les physiciens. Si tu intègres entre deux instants de dates t1 et t2, tu obtiens le résultat recherché :

\int_{t_{1}}^{t_{1}}p.dt=E_{c(t_{2})}-E_{c(t_{1)}} \\ \\ W_{(\overrightarrow{F})}=E_{c(t_{2})}-E_{c(t_{1)}}

Posté par
taustere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 18:11

Je viens de me dire que c'est peut être car:
dv/dt . dv = dv^2/dt

un vecteur au carré peut s'écrire comme sa norme. Ainsi le produit scalaire disparait et l'égalité et donc vrai.
Confirmez moi si cela est juste.
En tout cas je pense qu'il y a forcément une explication car j'ai vu cette vidéo sur un cours d'un prof de physique.

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 18:11

faute d'indice dans les bornes d'intégration. Je rectifie :

\int_{t_{1}}^{t_{2}}p.dt=E_{c(t_{2})}-E_{c(t_{1)}} \\ \\ W_{(\overrightarrow{F})}=E_{c(t_{2})}-E_{c(t_{1)}}

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 21:56

Citation :
En tout cas je pense qu'il y a forcément une explication car j'ai vu cette vidéo sur un cours d'un prof de physique.

Si tu commences à croire sans réfléchir tout ce que tu vois sur le net...
Citation :
Je viens de me dire que c'est peut être car:
dv/dt . dv = dv^2/dt

Cette égalité est nécessairement fausse car elle n'est pas homogène. A gauche, le produit correspond à une grandeur élémentaire : le produit d'une accélération par une variation élémentaire de vitesse. A droite : tu obtiens une grandeur finie : la dérivée par rapport au temps du carré d'une vitesse !
La relation correcte est :

\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{d\left(\overrightarrow{v}\right)^{2}}{dt}=2\overrightarrow{v}.\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}

Il y a un “d” devant v en trop dans ta formule. Celle que j'ai écrite est analogue à celle du cours de math :

(u2)'=2u.u'

Cette formule est celle que j'ai utilisée dans la démonstration de mon premier message...

Posté par
taustere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 22:16

Comment vous passez de:
M.v.dv/dt à dEc/dt
Je ne saisis pas cette étape. Dans votre démonstration vous sautez cette étape or c'est celle ci qui me pose problème.
Dans plusieurs vidéos de démonstration, ils arrivent par dire que c'est égal à  d(1/2v^2)/dt *m. Là, c'est expliqué comment on arrive à l'énergie cinétique. Mais je ne comprends pas cette étape.
Je vous invite à regarder des démonstrations, il y'a toujours un moment où le produit scalaire est considéré comme une multiplication et donc cela rappelle la formule u'v...
Et j'aimerais savoir pourquoi.

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 09-06-23 à 22:33

Je reprends en détaillant davantage.

\overrightarrow{F}=m.\overrightarrow{a}\quad donc\quad\overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}=m.\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}=m\cdot\overrightarrow{v}\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}

Or :

\frac{1}{2}m\cdot\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{1}{2}m\cdot\frac{d\left(\overrightarrow{v}\right)^{2}}{dt}=\frac{1}{2}m.2.\overrightarrow{v}\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}

et :

\frac{1}{2}m\cdot\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{d\left(\frac{1}{2}m.v^{2}\right)}{dt}=\frac{dE_{c}}{dt}
car la masse est indépendante de t.
Cela donne bien :

\overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}=p=\frac{dE_{c}}{dt}

Le reste est inchangé par rapport à mes précédents messages.

Posté par
taustere : Théorème de l'energie cinétique 10-06-23 à 08:27

Comment passez vous de
M.v.dv/dt
À
1/2 m.dv^2/dt
?
Je suis désolée de prendre bcp de votre temps
😬

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 10-06-23 à 13:59

On applique à chaque composante vx, vy et vz la relation du cours de math sur la dérivée d'un carré :

\left(v_{x}^{2}\right)'=2v_{x}.v'_{x}\qquad soit\qquad\frac{dv_{x}^{2}}{dt}=2v_{x}\cdot\frac{dv_{x}}{dt}

(même chose pour les deux autres composantes)

Cela conduit à la relation vectorielle déjà écrite :

\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{d\left(\overrightarrow{v}\right)^{2}}{dt}=2\overrightarrow{v}.\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}

Si tu multiplies à gauche et à droite par (1/2)m, cela donne :

\frac{1}{2}m\cdot\frac{dv^{2}}{dt}=m\overrightarrow{v}.\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{v}.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}

Posté par
taustere : Théorème de l'energie cinétique 10-06-23 à 19:07

...

** image supprimée : les réflexions doivent être recopiées**

Posté par
taustere : Théorème de l'energie cinétique 10-06-23 à 19:28



1/2*m*v^2/dt =  1/2*m*2 dv/dt * v =m*v*a

m*v.a !=m*v*a

donc
m*v.a != 1/2*m*v^2/dt

On en revient au problème du début.
Le produit scalaire est confondu avec la multiplication.

Posté par
vanoisere : Théorème de l'energie cinétique 10-06-23 à 22:14

Quand deux vecteurs sont colinéaires et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit des deux normes. Cela est évidemment vrai dans le cas particulier du produit scalaire d'un vecteur par lui-même  c'est-à-dire du carré d'un vecteur...


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