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Théorème de Koening

Posté par
v3x0
07-12-17 à 10:56

Bonjour à tous,
Je fais un exercice de mécanique, j'étudie un système de 2 points matériels.

Voici l'énoncé:

On considère un mobile constitué de deux billes M1 et M2 , de masses m1 et m2 , reliées par une tige rigide de longueur   et de masse négligeable. Le centre de masse G du système est, quant à lui, relié à un point fixe O par l'intermédiaire d'une autre tige de longueur L et de masse négligeable également. L'ensemble se déplace sans frotte- ments sur un plan horizontal. G tourne autour de O à la vitesse angulaire W et les deux billes tournent autour de G à la vitesse angulaire w , les deux rotations ayant lieu dans le même sens.
Déterminer l'énergie cinétique et le moment cinétique en O du système des deux billes dans le référentiel fixe lié à O .

je met en lien l'image qui va avec.

Mon problème est le suivant:

En considérant une particule fictive de masse réduit \mu, aucun problème.
Cependant, si j'essai de calculer le moment cinétique sans considérer cette particule, avec le calcul "direct", je n'aboutit pas au même résultat, et je ne comprend pas mon erreur.

Le problème vient du calcul du moment cinétique barycentrique:

L*= GM1^m1v1* + GM2^m2v2*

j'ai: v1* = \frac{l}{2}\omega.e\theta

de même, v2* = -\frac{l}{2}\omega.e\theta

donc L* =\frac{l}{2}\mathbf{e_r}^\frac{l}{2}\omega.e\theta m1 + \frac{l}{2}\mathbf{e_r}^\frac{l}{2}\omega.e\theta m2

et donc L*= \frac{l^2}{4}\omega(m_1 + m_2) \mathbf{e_z}

Cependant, le résultat attendu est:

\mathbf{L^*} = \mu l^2 \omega \mathbf{e_z}

\mu = [tex]\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
[/tex]
Quelqu'un pourrait mettre en évidence mon erreur?
Je vous remercie.

Théorème de Koening

Posté par
vanoise
re : Théorème de Koening 07-12-17 à 11:54

Bonjour
Juste quelques remarques :
1° : en posant : v1* = \frac{l}{2}\omega.e\theta , tu supposes que G est au milieu du segment M1M2, ce qui n'est vrai que si m1=m2 : est-ce le cas ?
2° : est bien la vitesse angulaire de la tige M1M2 mesurée dans le repère barycentrique ?
3° :

Citation :
Déterminer l'énergie cinétique et le moment cinétique en O du système des deux billes dans le référentiel fixe lié à O .

Un référentiel lié à O pourrait, par exemple tourner de sorte que la tige OG soit fixe dans ce référentiel.... Je pense qu'il s'agit du référentiel "absolue" de cette étude dans lequel sont mesurées les deux vitesses angulaires...
suggestion : si m1m2 : reprend ton calcul et poste à nouveau si tu ne t'en sort pas.

Posté par
v3x0
re : Théorème de Koening 07-12-17 à 13:51

Bonjour! Effectivement m_1 m_2 ...

Mais du coup, comment trouver la position du centre d'inertie?
Car avec la définition, il nous manque une inconnue ...

Posté par
vanoise
re : Théorème de Koening 07-12-17 à 14:21

En notant r1 la distance de G à M1 et r2 la distance de G à M2, on peut écrire

r_{1}+r_{2}=l

G est le barycentre des points M1 et M2 affectées des coefficients m1 et m2 :

m_{1}.r_{1}=m_{2}.r_{2}

Tu obtiens bien deux équations pour deux inconnues !

Posté par
v3x0
re : Théorème de Koening 08-12-17 à 06:37

Oui merci beaucoup, je venais de le remarquer juste avant d'avoir lu votre commentaire!
Bonne journée à vous.

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