Bonjour à tous,
Je fais un exercice de mécanique, j'étudie un système de 2 points matériels.

Voici l'énoncé:

On considère un mobile constitué de deux billes M1 et M2 , de masses m1 et m2 , reliées par une tige rigide de longueur   et de masse négligeable. Le centre de masse G du système est, quant à lui, relié à un point fixe O par l'intermédiaire d'une autre tige de longueur L et de masse négligeable également. L'ensemble se déplace sans frotte- ments sur un plan horizontal. G tourne autour de O à la vitesse angulaire W et les deux billes tournent autour de G à la vitesse angulaire w , les deux rotations ayant lieu dans le même sens.
Déterminer l'énergie cinétique et le moment cinétique en O du système des deux billes dans le référentiel fixe lié à O .

je met en lien l'image qui va avec.

Mon problème est le suivant:

En considérant une particule fictive de masse réduit , aucun problème.
Cependant, si j'essai de calculer le moment cinétique sans considérer cette particule, avec le calcul "direct", je n'aboutit pas au même résultat, et je ne comprend pas mon erreur.

Le problème vient du calcul du moment cinétique barycentrique:

L^*= GM₁^m₁v₁^* + GM₂^m₂v₂^*

j'ai: v₁^* = .e

de même, v₂^* = .e

donc L^* =^.e m₁ + ^.e m₂

et donc L^*=

Cependant, le résultat attendu est:



où
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Quelqu'un pourrait mettre en évidence mon erreur?
Je vous remercie.