Energie cinétique de la masse en theta0 : Ec0 = (1/2).m.vo².

La différence d'altitude de la bille enttre les angles theta0 et theta est Delta l = L.(cos(theta) - cos(theta0))

L'énergie cinétique de la masse en theta est donc : Ec1 = (1/2).m.vo² + mgL.(cos(theta) - cos(theta0))

On a donc (1/2).m.v² = (1/2).m.vo² + mgL.(cos(theta) - cos(theta0))
Avec v la vitesse de la bille en theta.

Avec un référentiel lié à la masse :
La force centrifuge sur la masse en theta est donc:
F1 = mv²/L
F1 = m.vo²/L + 2mg.(cos(theta) - cos(theta0))

La composante du poids en theta de la masse dans la direction du fil est :
F2 = mg.cos(theta)

La tension T dans le fil compense à tout moment F1+F2 et donc:
|T| = |F1 + F2|

T = mg.cos(theta) + m.vo²/L + 2mg.(cos(theta) - cos(theta0))

T = m.vo²/L + mg.(3.cos(theta) - 2.cos(theta0))

On retrouve ta formule sauf qu'il manque un m dans ta formule.
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Sauf distraction.  

Bonsoir,

En fait il y a plusieurs point que je ne comprends pas dans ta démonstration.

- comment tu choisis ton exe vertical ? vers le haut ou le bas ? quelle est est l'origine ?
- mgl(cos(theta)-cos(theta0)) correspond à une énergie potentielle. Pourquoi tu l'ajoutes à Ec0 pour avoir Ec1 ?
- "On a donc (1/2).m.v² = (1/2).m.vo² + mgL.(cos(theta) - cos(theta0))" ca sort d'ou ? quel théoreme de meca utilises-tu ?
- force centrifuge ? pourquoi on la compte ici et on ne tient compte que de P et T ?
- "La tension T dans le fil compense à tout moment F1+F2 " Pourquoi ca se compense ? la vitesse n'est pas uniforme, non ?

voila, pour tout ca, ca n'est pas tres clair !!
Merci

Voila avec un peu plus de détail.

Dans un repère terrestre :

Energie cinétique de la masse en theta0 : Ec0 = (1/2).m.vo².

En prenant le point d'équilibre (masse le plus bas possible) comme référence pour les énergies potentielles de pesanteur nulle:
Energie potentielle de pesanteur de la masse en theta0 : Ep0 = m.g.h avec h l'altitude de la masse en theta0.
On trouve facilement par la trigono : h = L.(1 - cos(theta0))
-->  Ep0 = m.g.L.(1 - cos(theta0))

L'énergie mécanique de la masse est donc : Em = Ec0 + Ep0
Em = (1/2).m.vo² + m.g.L.(1 - cos(theta0))
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Energie cinétique de la masse en theta : Ec = (1/2).m.v². avec v la vitesse de la masse en theta.
Energie potentielle de pesanteur de la masse en theta : Ep = m.g.h' avec h' l'altitude de la masse en theta.
On trouve facilement par la trigono : h' = L.(1 - cos(theta))
-->  Ep = m.g.L.(1 - cos(theta))

Comme les frottements sont négligés, il y a conservation de l'énergie mécanique de la masse et donc :

Em = Ec + Ep
(1/2).m.vo² + m.g.L.(1 - cos(theta0)) =  (1/2).m.v² + m.g.L.(1 - cos(theta))

vo² + 2g.L.(1 - cos(theta0)) = v² + 2g.L.(1 - cos(theta))
vo² - 2g.L.cos(theta0) = v² - 2g.L.cos(theta)
v² = vo² + 2g.L.(cos(theta) - cos(theta0))

Je prends maintenant un référentiel lié à la bille. (choix pas obligatoire mais tellement facile).
Ce référentiel n'est pas galiléen, il faudra donc alors introduire une force fictive (centrifuge) pour tenir compte du fait que le référentiel n'est pas galiléen.
--> dans ce référentiel, la bille est soumise à 3 forces :
- Le poids de la bille
- La tension du fil
- La force centrifuge

Il n'y a aucun mouvement de la bille dans la direction du fil et donc la résultante des forces dans cette direction agissant sur la bille est nulle.

Calcul de la force centrifuge: Fc = mv²/L
Elle a la direction de la corde et est dans le sens "vers l'extérieur" de la portion de cercle décrite par la bille dans un référentiel terrestre.

Composante du poids de la bille dans la direction di fil: P = mg.cos(theta)

Tension dans le fil : Direction du fil

On a donc:
T = mv²/L + mg.cos(theta)

T = m[vo² + 2g.L.(cos(theta) - cos(theta0))]/L + mg.cos(theta)

T = mvo²/L + 2mg.(cos(theta) - cos(theta0)) + mg.cos(theta)

T = mvo²/L + mg.(3.cos(theta) - 2.cos(theta0))
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Sauf distraction.