Niveau licence

Tenseur d'inertie

Posté par
Nerven 17-05-15 à 11:46

Salut à tous

Ma question porte sur le calcul du tenseur d'inertie, par exemple pour un cylindre C dont G est le centre de masse et O l'origine du repère (x,y,z)

Concrètement, la méthode reposant sur les plans de symétrie matériel (et directions propres) pour éliminer les produits d'inertie dans la matrice permet-elle de calculer le tenseur en G ou en O ?

En effet dans mes exercices, je retrouve souvent pour les 2, j'avais cru comprendre qu'on devait utiliser cette méthode pour trouver le tenseur en G puis d'après le théorème de Huygens-Koening, on peut donner la relation J C/O = J C/G + J [G]/O (et on calcule J [G]/O facilement)

Cependant dans certains de mes exercices, on utilise la méthode des plans de symétrie mat. pour trouver directement J C/O.

Voila donc si vous pouviez m'expliquer la nuance que je n'ai pas du saisir

Merci d'avance !

Posté par re : Tenseur d'inertie 17-05-15 à 13:59

Ce n'est pas très clair. Rien n'empêche de placer l'origine du repère en G...

Le choix du repère (origine et base) dans lequel s'effectue le calcul du tenseur d'inertie est libre ! Et l'on peut effectivement s'épargner bien des calculs si l'on exploite la symétrie du problème.

Pour un cylindre homogène, il semble par exemple judicieux de calculer la matrice d'inertie en G, dans une base dont l'un des vecteurs a pour direction l'axe de révolution du cylindre (qui est nécessairement un axe principal d'inertie).

On vérifiera alors que la matrice d'inertie est diagonale.

Posté par re : Tenseur d'inertie 17-05-15 à 14:48

D'accord, merci pour votre réponse.

Toutefois une question subsiste : la matrice sera diagonale, que l'on se place en O ou G, mais je ne vois pas quelle sera la différence pour les moments d'inertie suivant le point choisi dans ce cas ? Pour être plus concret :

Dans le cas de mon cylindre : $A = \int \int \int y²+z² dm$ mais en quoi la position de mon point va changer mon calcul dans cet exemple ?

Posté par re : Tenseur d'inertie 17-05-15 à 15:13

Encore une fois, faute de schéma, on ne sait pas où est situé le point $O$ dont tu parles...

Si l'on calcule la matrice d'inertie en un point $P$ , les paramètres $x$ , $y$ et $z$ apparaissant dans les intégrales correspondant à chaque coefficient désignent les coordonnées dans le repère centré en $P$ !

Ainsi, si en $O$ le coefficient $A$ vaut $\int (y^2+z^2) \mathrm{d}m$ , en $G$ il sera donné par $\int ((y-y_G)^2+(z-z_G)^2) \mathrm{d}m$ , avec $(x_G,y_G,z_G)$ les coordonnées du point $G$ dans le repère centré en $O$ (ce qui correspond exactement au théorème de Huygens généralisé)...