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Temps de détection et formule de Fresnel

Posté par
EvDavid 27-05-19 à 21:14

Bonjour,

Il est connu que les détecteurs sont sensibles à la valeur moyenne temporelle de la puissance surfacique reçue. En particulier, des détecteurs tels que notre oeil... sont sensibles à la valeur moyenne temporelle de la puissance lumineuse surfacique reçue, et c'est de là que vient l'expression de l'intensité par exemple :  I=<E^{2}> car dans le vide la puissance surfacique est donnée par \frac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu _{0}}. Après dans la formule de Fresnel, on dit qu'on a deux sources S1 et S2 qui chacune envoie une onde s1et s2 sphériques, données par : s_{1}(M,t)=\frac{a_{1}}{S_{1}M}cos(w_{1}t-k_{1}S_{1}M-\varphi _{0,1}) et s_{2}(M,t)=\frac{a_{2}}{S_{2}M}cos(w_{2}t-k_{2}S_{2}M-\varphi _{0,2})
Les calculs sont : I(M,t)=<(s(M,t))^{2}>=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}[<cos((w_{1}+w_{2})t-(k_{1}S_{1}M+k_{2}S_{2}M)-\varphi _{0,1}-\varphi _{0,2})>+...]
( je n'ai pas voulu spécifier les ... car je me pose la même question dans les deux termes ) , on se permet alors d'annuler la moyenne du premier cos car il dépend du temps. Mais, nous faisons une moyenne sur le temps de détection du détecteur, et il ce n'est le même que la période pour laquelle la moyenne temporelle s'annule. On a pas \frac{1}{\tau }\int_{0}^{\tau }{cos((w_{1}+w_{2})t-(k_{1}S_{1}M+k_{2}S_{2}M)-\varphi _{0,1}-\varphi _{0,2})dt}=0 où \tau est le temp de détection du détecteur.

Je me demande alors comment on justifie rigoureusement ce calcul.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre ces détails cachés.

Merci d'avance,

Posté par
neajDre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 07:55

Bonjour,

La réponse à ta question est contenue dans ce que tu as écrit...

La lumière a une puissance instantanée à laquelle un détecteur est complètement insensible car la fréquence de la lumière est beaucoup trop élevée par rapport a sa sensibilité. Le détecteur ne voit donc qu'une puissance moyenne que l'on peut calculer sur une seule période de l'onde lumineuse.
Le détecteur a besoin d'un certain temps pour détecter cette puissance soit :
NT  + T secondes
où      N  est un entier très grand
            T est la période
             est compris entre 0 et 1.

Crois-tu que la valeur de ait une quelconque importance dans la valeur de la puissance détectée ?

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 15:38

Bonjour,

Merci pour votre réponse mais je n'ai toujours pas très bien compris. Vous avez décomposer le temps de détection du détecteur en périodes de l'onde lumineuses n'est ce pas ? \tau =NT+\delta T. Par exemple une péllicule photographique qui a un temps de détection de l'odre de \tau =10^{-4}s et si on utilise un laser He-Ne de longueur d'onde \lambda =632,8.10^{-9}m on obtient T\simeq 2,1.10^{-15}s et ainsi on a \tau \simeq 4.10^{10}T+\delta T et donc on peut considérer que \tau \simeq 4.10^{10}T. Mais si le détecteur n'est sensible qu'à la valeur moyenne de la puissance sur une période de l'onde lumineuse, il suffit d'avoir \tau >T non ?

Merci d'avance,

Posté par
neajDre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 17:30

Je vois que tu n'as pas compris la raison physique mais si tu avais essayé de répondre à ma question, tu aurais sans doute déjà capté. Donc je vais rester plus près du calcul...
Ce qui te chagrine, c'est que l'intégration ne soit pas prise sur un nombre entier de périodes mais sur .

EvDavid @ 27-05-2019 à 21:14

..., on se permet alors d'annuler la moyenne du premier cos car il dépend du temps. Mais, nous faisons une moyenne sur le temps de détection du détecteur, et il ce n'est le même que la période pour laquelle la moyenne temporelle s'annule. On a pas \frac{1}{\tau }\int_{0}^{\tau }{cos((w_{1}+w_{2})t-(k_{1}S_{1}M+k_{2}S_{2}M)-\varphi _{0,1}-\varphi _{0,2})dt}=0 où \tau est le temp de détection du détecteur.
Je me demande alors comment on justifie rigoureusement ce calcul.


Alors tu vas couper ton intégrale en 2 parties :
- une intégrale sur un nombre entier NT de périodes (=> moyenne rigoureusement nulle) ;
- une intégrale sur une fraction de période T sur laquelle effectivement la moyenne n'est pas rigoureusement nulle.

Sur cette fraction de période, tu vas considérer que l'amplitude est constante et maxi. Puis tu vas calculer sa contribution à la moyenne en supposant que = 1/2, et aussi sans oublier de diviser par bien sûr.

Sachant que c'est un majorant , quel est l'ordre de grandeur obtenu ?
Est-ce négligeable par rapport aux autres termes ?

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 21:44

Bonjour,

Ce qui me dérange n'est pas qu'on n'intégre pas sur un nombre entier de périodes de l'onde lumineuse. Le calcul que j'ai présenté est en fait pour montrer que le \delta T est négligeable devant NT, d'ailleurs je l'avais précisé en écrivant \tau \simeq NT. Vous dites dans votre premier message :

neajD @ 28-05-2019 à 07:55

Le détecteur ne voit donc qu'une puissance moyenne que l'on peut calculer sur une seule période de l'onde lumineuse.
Le détecteur a besoin d'un certain temps pour détecter cette puissance

Ce qui me dérange c'est que si on intégre sur une seule période de l'onde lumineuse, à quoi bon le \tau. Car \tau \gg T donc on peut toujours intégrer sur T.

Merci d'avance,

Posté par
neajDre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 22:59

Que toi tu intègres sur T ou sur n'a aucune importance parce que ça te donnera toujours la puissance moyenne de l'onde.
En revanche, le détecteur a besoin de collecter de l'énergie pendant le temps pour délivrer un signal exploitable. C'est donc lui qui intègre (collecte) la puissance instantanée de 0 à .

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 28-05-19 à 23:06

Je vois, merci pour vos réponses. Je comprends maintenant.

Posté par
vanoisere : Temps de détection et formule de Fresnel 29-05-19 à 02:48

Bonjour
Je suis tout à fait d'accord avec ce qui as été écrit sur la valeur moyenne d'une fonction périodique calculée sur une durée très grande devant la période. Ce raisonnement s'applique par exemple à la détermination de la puissance moyenne consommée par un dipôle électrique en régime sinusoïdal établi.
Dans le cadre de l'optique ondulatoire, je me permets une remarque complémentaire : si les deux sources quasi ponctuelles ne sont pas cohérentes, c'est à dire en pratique obtenues par l'association d'une source quasi ponctuelle et d'un dispositif interférentiel (miroirs de Fresnel...) il faut considérer que le déphasage entre les deux sources (02 - 01) varie de façon aléatoire toutes les T1 secondes, T1 étant la durée de cohérence des deux sources, valeur a priori très grande devant T mais très petite devant . Pour fixer les idées, dans le cas d'une lampe à vapeur de sodium classique, T1 est de l'ordre de la nanoseconde. Il faut tenir compte de ce phénomène pour parler de valeur moyenne.
Autre remarque : la formule de l'intensité lumineuse fournie par EvDavid comporte des "..." ; Cette intensité lumineuse peut s'exprimer simplement en fonction de I1, I2 et d'un cosinus de la différence des deux phases. On arrive alors simplement à la conclusion : un phénomène d'interférence lumineuse est observable à partir de deux sources quasi ponctuelles seulement si les deux sources sont synchrones et cohérentes...

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 29-05-19 à 15:50

Bonjour,

Merci vanoise pour vos ajouts. J'ai une question à propos du fait que \varphi _{02}-\varphi _{01}
varie toutes les T1 avec T1 très petite devant \tau. Donc quand on dit que les sources sont cohérentes on insinue que T1 est très grande devant \tau ? De sorte que lorsqu'on intégre sur
\tau on ne peut annuler le cosinus car on considérera que \varphi _{02}-\varphi _{01} est presque constante sur la durée \tau.

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Temps de détection et formule de Fresnel 29-05-19 à 18:39

Avant de répondre à ta question , quelques mots à propos de ton calcul de l'intensité lumineuse (il serait préférable de parler d'éclairement dans ce contexte mais bon : en optique, éclairement énergétique et intensité énergétique sont deux grandeurs proportionnelles dans les conditions expérimentales usuelles...). Pour tenir comptes de traversées éventuelles de milieux transparents différents (air et verre souvent), il est préférable d'introduire les longueurs de chemins optiques de S1 à M et de S2 à M notés L1 et L2. Les deux signaux en M s'écrivent :

s_{1}=A_{1}.\cos\left(\omega_{1}t-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}-\varphi_{01}\right)\quad;\quad s_{2}=A_{2}.\cos\left(\omega_{2}t-\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\varphi_{02}\right)

Les amplitudes sont celles en M et non celles des sources ; elles tiennent compte de l'amortissement comme tu l'as écrit. On passe aux complexes associés :

\underline{s_{1}}=A_{1}.\exp\left[j\left(\omega_{1}t-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}-\varphi_{01}\right)\right]\quad;\quad\underline{s_{2}}=A_{2}.\exp\left[j\left(\omega_{2}t-\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\varphi_{02}\right)\right]

Propriété bien connue de l'amplitude de la somme s=s1+s2 : le carré de cette amplitude est le produit du complexe associé à s par le conjugué de celui-ci :

A^{2}=\left\{ A_{1}.\exp\left[j\left(\omega_{1}t-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}-\varphi_{01}\right)\right]+A.\exp\left[j\left(\omega_{2}t-\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\varphi_{02}\right)\right]\right\} \cdot\left\{ A_{1}.\exp\left[-j\left(\omega_{1}t-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}-\varphi_{01}\right)\right]+A_{2}.\exp\left[-j\left(\omega_{2}t-\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\varphi_{02}\right)\right]\right\}

Je ne détaille pas le calcul :

A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}.A_{2}.\cos\left[\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)t+\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}+\varphi_{02}-\varphi_{01}\right]

D'où l'intensité lumineuse en M :

I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}.I_{2}}\cdot<\cos\left[\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)t+\frac{2\pi L_{2}}{\lambda_{2}}-\frac{2\pi L_{1}}{\lambda_{1}}+\varphi_{02}-\varphi_{01}\right]>

Pour que des franges d'interférence soient observables, il faut que l'intensité en un point M dépende de la position de ce point sur l'écran d'observation. Il faut donc que la valeur du cosinus sur la durée dépendent de la position du point M sur l'écran et surtout ne soit pas nulle !

Condition n° 1 : \omega_{1}-\omega_{2}=0 : les deux sources doivent avoir même période, c'est à dire être synchrones. S'il n'en est pas ainsi, compte tenu des valeurs extrêmement faibles de périodes, un très faible écart relatif de période (0,0001% par exemple) rendra la période du cosinus très petite devant tau : la valeur moyenne du cosinus sera égale à zéro ; pas de franges donc.

Condition n° 2 : \varphi_{02}-\varphi_{01}=constante : les deux sources doivent être cohérentes. Je vais (enfin ! ) répondre à ta question... Pour bien comprendre, il faut connaître le mécanisme d'émission de lumière par les atomes d'une source. Une source lumineuse monochromatique n'émet pas un onde progressive continue comme peut le faire un haut-parleur relié à une source de tension sinusoïdale. Elles émet une succession d'ondes progressives de très courte durée de vie T1 de l'ordre de la nanoseconde, ce qu'on appelle des « trains d'onde » en optique ondulatoire. En imaginant deux sources distinctes, il n'y a aucun moyen d'obliger les atomes de la source n°1 à émettre leurs trains d'onde aux mêmes instants que les atomes de la source n° 2. Avec deux sources distinctes, \varphi_{02}-\varphi_{01} varie de façon aléatoire avec une très grande amplitude toutes les T1 secondes. T1 étant toujours très petit devant la durée tau, la valeur moyenne sur la durée du cosinus est nulle : pas de franges d'interférence ! On pourrait chercher à augmenter la durée T1 de cohérence ; les meilleurs lasers arrivent à des valeurs de l'ordre de la microseconde, donc toujours des valeurs très inférieures à . Il est donc impossible d'obtenir un phénomène d'interférence à partir de deux sources physiquement distinctes, même si ces deux sources ont la même période. La seule façon possible d'en obtenir consiste à utiliser une source unique monochromatique et un dispositif interférentiel, type miroirs de Fresnel de sorte que l'ensemble (source unique - dispositif interférentiel} soit équivalent à deux sources synchrones et cohérentes. Ainsi :

I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}.I_{2}}\cdot\cos\left[\frac{2\pi\left(L_{2}-L_{1}\right)}{\lambda}+K\right]
Avec K = constante ; le plus souvent zéro, parfois rad.

Désolé : j'ai été un peu long mais je sais d'expérience que les étudiants éprouvent souvent des difficultés de compréhension sur ce sujet...

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 30-05-19 à 01:13

Bonsoir,

Merci énormément pour votre explication très détaillée. J'avoue que  je comprenais vaguement le sujet. Si j'ai bien compris, quand on impose w_{1}=w_{2} c'est à dire que les deux sources ont même période, ici on parle de la période de l'onde. Par exemple si on prend deux lasers He-Ne tels qu'on trouve dans tous les laboratoires, alors ils auront même période ( à peu près la même période vu qu'on ne peut construire exactement le même laser ). Et quand on dit que \varphi_{02}- \varphi _{01} varie aléatoirement toutes les [tex]T_{1} secondes, ici on parle du temps  d'émission de l'onde qui a la période 2\pi /w n'est-ce pas ? Est-ce que cette durée de cohérence c'est le temps de désexcitation d'un atome ? ( En supposant par exemple qu'un atome a un électron dans le niveau d'énergie E1 et quand il se désexcite et retourne à son niveau fondamental il lui fait T1 ? )

Merci d'avance,

Posté par
vanoisere : Temps de détection et formule de Fresnel 30-05-19 à 12:19

Effectivement : si tu superposes sur un écran deux faisceaux laser, chaque laser étant muni d'un élargisseur de faisceau, les deux lasers étant identiques, on n'observe pas de franges d'interférence dans la zone commune aux deux faisceaux.
OK pour le sens physique de la durée de cohérence T1.

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 30-05-19 à 12:48

Merci pour votre aide et ces informations très précises et très détaillées.

Posté par
neajDre : Temps de détection et formule de Fresnel 30-05-19 à 14:38

Excellent rappel également pour moi.
Juste pour ajouter mon grain de sel comme d'hab., je dirais que c'est pour la même raison que l'interférométrie en lumière blanche fonctionne, avec par exemple une simple diode électro-luminescente (DEL).

Posté par
EvDavidre : Temps de détection et formule de Fresnel 30-05-19 à 20:22

Je n'ai pas encore aborder ce sujet là mais merci pour votre ajoût neajD. J'y repenserai lorsque j'y arriverai ^^


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