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Température d'un biberon

Posté par
ArnaudG
11-07-18 à 14:12

Bonjour,

Voici mon questionnement du jour :

Un biberon (assimilé à un cylindre droit) étant à l'équilibre thermique à une température T_1, combien de temps faut-il attendre pour qu'il arrive à une température T_2 ? Deux cas sont à traiter, à savoir s'il doit refroidir (T_2 < T_1) ou se réchauffer (T_2 > T_1) ?

D'après mes premières réflexions,  à l'instant t quand le biberon est à température T_1, le flux de chaleur est égal à hS(T_1-T_2)T_1 est la température du biberon T_2 la température ambiante ( avec T_2 > T_1), S la surface du biberon et h un coefficient d'échange thermique qui vaut typiquement 7 W.m^{-2}.K^{-1} en intérieur (à confirmer ?).

Ce flux sert à réchauffer le biberon, pour élever la température d'une valeur dT, il faut une énergie C M dTM est la masse du biberon et C la capacité calorifique massique du liquide.

Je pense qu'il faut ensuite faire intervenir une équation de la chaleur, mais c'est là que je bloque et que votre aide serait la bienvenue car je ne maîtrise pas du tout le sujet ...

Merci d'avance.

Posté par
vanoise
re : Température d'un biberon 11-07-18 à 17:33

Bonjour
Pour arriver à une équation simple du type de celle que tu "ébauches", il faut :
1° négliger la résistance thermique de la matière dont est constitué le biberon (bonne approximation a priori) ;
2° négliger la résistance thermique de convection à l'interface (liquide intérieur - paroi intérieure du biberon) , approximation valide si le biberon est régulièrement agité pour maintenir uniforme la température à l'intérieur du liquide ;
3° tenir compte du phénomène de convection à l'interface (parois extérieure du biberon - air extérieur).
Dans ces conditions, la puissance thermique reçue par le liquide du biberon et fournie par l'air extérieur supposé plus chaud que le liquide, est donnée par la loi de Newton :
Pth=h.S.(T2 - T1) (attention au signe !)
Entre les instants de dates t et (t+dt), la quantité de chaleur reçue par le liquide s'écrit de deux façons différentes :
Q=Pth.dt=m.c.dT1
avec :
m : masse du liquide contenu dans le biberon
c : capacité thermique massique du liquide, sans doute voisine de celle de l'eau : 4,18.103J.K-1.kg-1 .
D'où l'équation différentielle vérifiée par la température T1 du liquide :

m.c\cdot\dfrac{dT_{1}}{dt}=h.S\cdot\left(T_{2}-T_{1}\right)
 \\ 
 \\ \dfrac{m.c}{h.S}\cdot\dfrac{dT_{1}}{dt}+T_{1}=T_{2}
Je te laisse continuer et résoudre...

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