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systèmes deux points matériels ( loi de variation )
bonsoir,
voilà un chaud exercice pour bien bien célébrer la fête de noêl ( si vous le célébrez biensur Lol );
Exercice :
Deux masses m1 et m2 sont fixées aux extrémités M1 et M2 d'un ressort de raideur k et de longueur à vide L0.
Ces masses, assujettis à glisser sans frottement sur un axe horizontal sont en équilibre et au repos. A T=0, un choc communique à la masse m1 une vitesse V0.
Determinez :
1)le mouvement du centre de masse G du système.
2)La loi de variation L(t) de la longueur du ressort.
N.B : la partie des chocs ne figure pas au programme de sup.
Bonne fête.
Axxx;@+
Dessin en t = 0:
En prenant l'origine O du repère à l'endroit où G (entre de masse du systéme) est en t = 0
On repère M1 par son abscisse x1
On repère M2 par son abscisse x2
La longueur du ressort est : L = (x2 - x1)
La force exercée par le ressort sur M2 et M1 est |F| = k.|(L-Lo)| = k.|x2 - x1 - Lo|
k.(x2 - x1 - Lo) = m2.d²x2/dt²
k.(x2 - x1 - Lo) = -m1.d²x1/dt²
Avec (dx1/dt)(0) = Vo ; x1(0) = -Lo.m2/(m1+m2) : x2(0) = Lo.m1/(m1+m2)
L'abscisse de G est xG(t) = x1 + (x2-x1).m2/(m1+m2) = (x1.m1 + x2.m2)/(m1+m2)
-----
k.(x2 - x1 - Lo) = -m2.d²x2/dt²
k.(x2 - x1 - Lo) = m1.d²x1/dt²
m1.d²x1/dt² + m2.d²x2/dt² = 0
dV1/dt = -m2/m1 .dV2/dt = 0
dV1 = -m2/m1 .dV2 = 0
dV1/dV2 = -m2/m1
V1 = -(m2/m1).V2 + C
V1(t=0) = Vo et V2(t=0) = 0 --->
V1(t) = Vo -(m2/m1).V2(t)
dx1/dt = Vo - (m2/m1).dx2/dt
x1 = Vo.t - (m2/m1).x2 + K
En t = 0 :
-Lo.m2/(m1+m2) = - (m2/m1).Lo.m1/(m1+m2) + K
K = 0
x1 = Vo.t - (m2/m1).x2
k.(x2 - x1 - Lo) = -m2.d²x2/dt²
k.(x2 - Vo.t + (m2/m1).x2 - Lo) = -m2.d²x2/dt²
m2.d²x2/dt² + x2.[k(m1+m2)/m1] = k.Lo + k.Vo.t
d²x2/dt² + x2.[k(m1+m2)/(m1.m2)] = k.Lo/m2 + (k.Vo/m2).t
x2(t) = A.cos(wo.t) + B.sin(wo.t) + Lo.m1/(m1+m2) + Vo.m1/(m1+m2) * t
avec wo = V[k(m1+m2)/(m1.m2)]
x2(0) = A + Lo.m1/(m1+m2)
Or, il faut x2(0) = Lo.m1/(m1+m2) ---> A = 0
x2(t) = B.sin(wo.t) + Lo.m1/(m1+m2) + Vo.m1/(m1+m2) * t
(dx2/dt)(0) = B.wo + Vo.m1/(m1+m2) = 0
B.V[k(m1+m2)/(m1.m2)] = - Vo.m1/(m1+m2)
B = -Vo . racinecarrée[m1³.m2/(k.(m1+m2)³)]
x2(t) = -Vo.racinecarrée[m1³.m2/(k.(m1+m2)³)].sin(wo.t) + Lo.m1/(m1+m2) + Vo.m1/(m1+m2) * t
avec wo = V[k(m1+m2)/(m1.m2)]
x1 = Vo.t - (m2/m1).x2
x1(t) = Vo.t + Vo.racinecarrée[m1.m2³/(k.(m1+m2)³)].sin(wo.t) - Lo.m2/(m1+m2) - Vo.m2/(m1+m2) * t
xG(t) = (x1.m1 + x2.m2)/(m1+m2)
xG(t) = [[Vo.t + Vo.racinecarrée[m1.m2³/(k.(m1+m2)³)].sin(wo.t) - Lo.m2/(m1+m2) - Vo.m2/(m1+m2) * t]*m1 + [-Vo.racinecarrée[m1³.m2/(k.(m1+m2)³)].sin(wo.t) + Lo.m1/(m1+m2) + Vo.m1/(m1+m2) * t]*m2]]/(m1+m2)
xG(t) = Vo.t.m1/(m1+m2)
(mouvement rectiligne uniforme à la vitesse Vg = Vo.m1/(m1+m2)
-----
L(t) = x2(t) - x1(t)
L2(t) = ...
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