Sans y avoir réfléchi suffisamment,

Il me semble que

Et je tique aussi sur l'équation différentielle (même corrigée avec ce que j'ai écrit ci dessus). Problème de signe.

Par exemple avec i = 0, on aurait l'accélération suivant z de même signe que g ...
Or l'axe des z est orienté vers le haut et g est bien entendu dirigé vers le bas.

Bref, erreur de signe, à mon avis du second membre de l'équation différentielle.

Pour le reste, je ne connais pas le langage python, mais il me semble quand même que c'est foireux.
L'équation différentielle est du second degré et je ne vois pas que c'est cela que le programme traite.

Pour moi, on doit trouver z'' pour chaque pas et en déduire z' et puis z compte tenu de l'état du pas précédent et il me semble bien (sans connaissance de Python) que ce n'est pas cela qui est fait.

Prendre ma réponse avec méfiance.

Hello

2 premiers "problèmes" à résoudre:

1) (mineur)  l'équation du champ magnétique que tu utilises est une approximation pour z>>R (si pas un pbm pour toi, cela n'en sera pas un pour moi ) mais aussi pour z>0
Tu dois donc bricoler soit l'équation, soit le référentiel, soit le sens positif du courant pour que les équations suivantes soient "propres"

2) (plus délicat)



Est en fait la force appliquée à un dipôle   plongé dans un champ  (uniforme?)  

Tu l'appliques avec:

  moment de la boucle de courant
champ créé par cette même boucle ...  

A toi de voir si tu acceptes des hypothèses simplificatrices sur ce corps en lévitation (ie une boucle de courant également?) ou bien si tu veux faire le raisonnement sur "un corps ferromagnétique (wikipedia donne une force en 1/z² ... à voir)

@J-P: mais comment n'ai je pas vu une réponse postée il y à 20 mn ... Je bats ma coulpe

Bonsoir
Ton expression de B est certainement fausse. Laquelle choisir ? Tout dépend de la géométrie de ton électroaimant. S'il est assimilable à une bobine plate de N spires, sans noyau de fer, l'origine z = 0 correspondant au centre, l'expression fournie dans le message précédent s'applique. Si ton électroaimant possède un noyau cylindrique de hauteur H et de rayon R avec H non négligeable devant R, il est préférable d'adapter la formule correspondant au solénoïde de longueur finie. Cela donne plutôt quelque chose de la forme :

L'origine z = 0 est encore au centre de l'électroaimant avec :


où µ désigne la perméabilité magnétique du noyau de fer a priori inconnu.
Un conseil : si tu disposes d'un teslamètre, réalise un certain nombre de mesures de B pour des valeurs connues de z à I connu et fixe, trace la courbe B = f(z) et cherche à la modéliser : cela te donneras une valeur expérimentale de Br.
La méthode consistant à déduire la force du gradient de l'énergie potentielle est excellente.

Bonsoir
Et oui Dirac à raison !
Il s'agit de déterminer la force exercée par l'électroaimant  sur un petit aimant permanent assimilé à un dipôle magnétique de moment . Ce moment magnétique doit être considérer comme une constante  dans le calcul du gradient de l'énergie potentielle !  Rien à voir avec le moment magnétique d'une spire !

Bonsoir,

Merci à tous pour la réactivité!

Tout d'abord : champ

Dirac : oui j'ai fait l'approximation même si dans mon cas ce n'est pas du tout vrai... mais dans un premier temps je l'ai fait pour voir ce que ça donnait... Mais dans ce cas comment avoir l'expression que J-P propose pour B? N'est ce pas la loi de Biot et Savard qu'il faut utiliser?

Puis :

je n'ai pas trouvé sur internet la formule qui donne l'expression du moment magnétique d'un dipole. J'ai remarqué que c'est quasiment la même chose que pour le dipole électrostatique mais bon je ne sais pas de quoi partir pour avoir son expression. Disons que pour le dipole électrostatique je l'avais à partir du potentiel V mais là... je n'ai rien (à priori.. ).

Enfin :

Ayant utilisé le mauvais l'erreur de signe souligné par J-P est inévitable...

Quant à Python :

loin d'être un expert, j'ai juste réexprimé en fonction de z

merci encore!

Au fait Vanoise, je veux bien utiliser toutes les formules du monde mais comment la démontrer? merci

Pour les diverses expressions possibles de B créé, voir ici :
Bobine plate : page 38 ; solénoïde de longueur finie : pages 46 et suivantes.
Tu n'as pas compris la notion de moment magnétique. Un petit aimant droit (celui que tu vas fixer dans ta balle de ping-pong ou  autre boule creuse pour créer la force magnétique) est équivalent à un dipôle magnétique de moment : ce moment est la résultante de tous les moments magnétiques des atomes de fer du matériau. C'est une constante caractéristique de cet aimant, il n'est pas question de le calculer. Il faut le considérer comme une constante quand tu calcules la force à partir du gradiant. La norme de ce vecteur reste dans l'expression de la force.
As-tu la possibilité de faire des expériences à l'aide d'un teslamètre. Sinon, tu ne pourras pas déterminer cette norme pas plus que la perméabilité magnétique du noyau de fer de l'électroaimant, valeur que tu pourras considérer comme une constante dans ce problème mais qui n'a pas exactement la même valeur suivant la valeur de l'intensité du courant traversant l'électroaimant. Bref : sans expérience : pas facile...

Ahhh d'accord... mais dans ce cas là c'est quel volume sur lequel on intègre? Volume du matériau?

oui c'est bon pour le teslamètre!

merci

OK ! Du coup, puisque les vecteurs M et B sont colinéaires et de sens opposés, la force magnétique est donnée par la relation :


B_(z) décroît en fonction de z : la force magnétique est bien une force verticale orientée vers le haut ! (J'ai préféré utiliser la lettre M car m désigne la masse de l'objet en sustentation, me semble-t-il). La valeur de M ne peut pas être "calculée" mais peut être mesurée à l'aide d'un teslamètre : il suffit de faire une petite expérience annexe permettant d'obtenir les valeurs du champ magnétique B' créé par ce petit aimant à différentes distance de son centre  puis de comparer à l'expression théorique de B' en fonction de M.
Pour en revenir à l'expression théorique de B(z) créé par l'électroaimant : si tu pouvais fournir les caractéristiques de l'électroaimant (rayon moyen, hauteur, présence ou non d'un noyau de fer...) ainsi que la distance moyenne du centre de l'électroaimant au petit aimant et l'ordre de grandeur de l'amplitude du mouvement attendu, il sera plus facile ensuite de te conseiller sur l'expression de B(z) la plus pertinente...
Bon courage !

Ok pour la force!
Quant aux caractéristiques : électroaimant : bobine plate sans noyau : rayon 2cm, hauteur entre 0.5 et 1 cm et distance moyenne entre le centre de la bobine et l'aimant : 4 à 5 cm et amplitude des oscillations souhaitée : la plus faible possible. (Pour vous tenir au courant de ma progression : le circuit électronique est fait mais quand je le branche et que le cube (car j'utilise un cube et pas une balle de ping-pong) est sous les faisceau, il y a attraction et l'aimant monte. Mais trop vite dans le sens où le temps de réponse du circuit électronique est trop faible pour arrêter les champs et laisser tomber l'aimant ..)
Merci

Au fait juste pour voir si j'ai bien compris, le moment magnétique dipolaire s'oppose au champ B dans lequel il est plongé?

Hello

Je me permets de commenter à nouveau:

Dirac, oui je vois bien, la force dérive d'un potentiel ça j'ai compris
Pourquoi devrais-je chercher à linéariser l'équation? Si un programme python me permet de trouver une solution...

"position d'équilibre" vous pensez à la démarche semblable aux puits de potentiel et tout?

"écarts par rapport à Oz" vous voulez dire dans les directions transversales (Ox) et (Oy)?

Vanoise : tracer B(z)=f(z) serait pour "valider" la formule théorique, c'est ça?
ok pour le moment magnétique, de toutes façons je suis obligé si je veux avoir une bonne modélisation python...

merci encore à vous!!

Rechercher la position d'équilibre: valide le dimensionnement du dispositif (si pour un cube de qlq grammes et une hauteur de lévitation de quelques  centimètres ton dispositif requiert une intensité équivalente à celle circulant dans un moteur de TGV à pleine puissance -dans les 700 A-, il y un pbm)  

Linéariser autour de la position d'équilibre: pour simplifier les équations du mouvement dans l'étude des perturbations de la position autour de cet équilibre afin de vérifier comme tu l'as compris qu'il est stable.

Et également commencer à concevoir un système d'asservissement :

Ton dispositif me semble en effet poser un pbm du fait que le cube soit "sous" l'électroaimant: si le cube s'éloigne vers le bas, la force magnétique diminue, donc il va continuer à tomber. si ce cube s'éloigne vers le haut, la force magnétique augmente, le cube va continuer à monter.

Sauf étourderie de ma part

Moui... ^_^je vais creuser la piste ce soir!
Le système d'asservissement c'est bon, j'ai un capteur de position qui permet d'active ou non le champ etc.. !! ^_^ merci de s'en inquiéter! à tout à l'heure ou demain!

Bonsoir Dirac
Désolé pour les deux post croisés précédents : deux fois que je commence un message en absence de réponse et que je trouve une réponse de ta part une fois la mienne validée ! Enfin, cela ne me semble pas trop grave car les réponses sont plutôt complémentaires et concordantes.
Le dispositif comporte effectivement un système d'asservissement fortement inspiré de celui décrit ici :

Je pense aussi que ce système d'asservissement sera d'autant plus efficace que la position  moyenne sera proche de celle correspondant à l'équilibre.  Il faudrait donc sans doute commencer par régler l'intensité du courant dans l'électroaimant de façon qu'un équilibre soit atteint pour la valeur de z prévue pour être la valeur moyenne au cours des oscillations. Le message de zebrico du 21-12-16 à 10:26 laisse penser que la force magnétique est largement suffisante pour compenser le poids. Dans ce cas, il est peut-être possible d'augmenter un peu la masse du solide en sustentation pour augmenter son inertie et diminuer la fréquence des oscillations.
À zebrico :

Vanoise :

Il me semble qu'au contraire il n'y avait pas d'erreur dans l'expression de la force ... Car si devant la dérivée de B il y a un "+", puisque lorsqu'on dérive B on à un "-" qui sort et bien on a 2 moins pour les forces. Or on ne peut pas avoir à la fois un moins devant la force magnétique ET devant le poids puisque les deux forces s'opposent!
Et du coup votre remarque me gêne d'autant plus que vous dites plus haut

J-P :

Juste pour pas que vous pensiez que je vous ai oublié, Vous aviez raison! Je traite avec mon programme une équation du 1er degré, je suis en train de voir en parallèle comment faire pour arranger ça!

J-P :

avec le schéma suivant :

z0=z(0) et y0=z'(0)
zn+1=zn+h*yn
yn+1=yn+h*f(zn)


import matplotlib.pyplot as plt

def mouvement ( z0 , y0, n , tf , i , R , m , M ) :  # M désigne le moment magnétique dipolaire
    
    T = [ 0 ]
    Z = [ 0 ]
    h = tf / float( n )
    ( z , µ , g ) = ( z0 , 126*10^(-8) , 981*10^(-2))
    y = y0
    t = 0
    
    while t < tf :
        y += h *( ((M/(2*m)) * µ* i*R**2*z)  / (( R**2+z**2)**(3/2)) - g  )
        z += h * y
        t += h
        Z.append( z )
        T.append( t )
          
    plt.plot(T,Z)
    plt.show()

et j'obtiens comme type de courbes ce que je met en piece jointe.

Je ne sais pas si c'est correct mais au moins c'est plus joli que la première!

Si l'axe (Oz) est orienté vers le haut  et que z = 0 correspond au centre de l'électroaimant, la zone où évolue le petit aimant correspond à  z<0 puisque celui-ci est en-dessous de l'électroaimant. Dans cette zone, B(z) est bien fonction croissante de z puisque la courbe représentative de B(z) en fonction de z présente un maximum en z = 0 . On obtient bien :


Compte tenu des valeurs numériques fournies, il serait peut-être possible de régler l'intensité dans l'électroaimant de sorte que l'équilibre corresponde à z = -5cm (par exemple) puis de placer le faisceau laser un peu au-dessus (en z = -4cm par exemple).
Avant de prendre en compte de façon précise le comportement du  système d'asservissement, il serait peut-être possible de faire une simulation simple :
conditions initiales : z = -3,7cm avec vitesse initiale nulle
si z >-4cm : la seule force appliquée est le poids  ;
si z<-4cm : les forces appliquées sont le poids et la force magnétique.
le solide de masse m devrait ainsi osciller autour de la position z = -4cm...
Cela suppose évidemment que le solide ne descende jamais en dessous de la position z = -5cm car alors il tombe !

Hello Vanoise

@Vanoise

C'est bon, je viens de prendre mon café. Je remballe ma question et j'étudie dF/dz avant toute autre chose

Et beh! vous êtes matinaux!

pour le graphe j'en donne un autre, je me suis trompé dans le schéma de résolution, mais la courbe ne change pas beaucoup (au niveau de la forme). Et en plus il est annoté cette fois ci.. (le précédent me semblait assez naturel en fait )

Vanoise :

L'aimant est sous l'électroaimant, l'axe des z est orienté vers le haut et pour en revenir sur le calcul de la force :
le champ B est bien celui ci?  selon +Z si le courant parcours la spire dans le sens indiqué comme sur la photo ci -jointe :



et la force magnétique :



Dirac :

voici le programme :

import matplotlib.pyplot as plt

def mouvement ( z0 , y0, n , tf , i , R , m , M ) :  # M désigne le moment magnétique dipolaire
    
    T = [ 0 ]
    Z = [ 0 ]
    ( h , z , µ , g, y , t ) = ( tf / float( n ) , z0 , 126*10**(-8) , 981*10**(-2) , y0 , 0)
    
    while t < tf :
        y1 = y
        y += h *( (((3*M*µ*i)/(2*m))*R**2*z)  / (( R**2+z**2)**(5/2)) - g  )
        z += h * y1
        t += h
        Z.append( z )
        T.append( t )
    
    plt.plot(T,Z)
    plt.xlabel('temps en s')
    plt.ylabel('z en m')
    plt.title( 'z = f(t)')
    plt.axis([0,0.5, 0, 1000])
    
    plt.show()

où
z0 = -5 cm
y0 = 0 m/s


et le graphe est en pièce jointe et là.... ça ne vas plus... la concavité n'est pas bonne... Pour avoir la bonne concavité je dois mettre un "moins" quand je concatène y... ce qui n'est pas possible... par contre la concavité est bonne si j'inverse les signes du poids et de la force magnétique, ce qui voudrait dire que l'axe des z est descendant...

en attendant je joins aussi la courbe théorique du champ magnétique (. B=f(z)) et de la force magnétique exercée. ( F=f(z) ) la seconde m'étonne, je ne sais pas pourquoi mais je trouve pas ça "joli"..

et le champ B

j'ai oublié la pièce jointe ^_^

Au fait j'avais une question, comment on sait dans quel sens circule le courant?

Hello

Pour
m = 10 g,   R = 2 cm,   i = 0,1 A,  N (nombre de spires) = 1,  M (moment magnétique de l'aimant, déjà puissant il me semble) = 5 A.m2

je trouve une valeur d'équilibre  z = -9,6 10^-2 mm

Pour
m = 10 g,   R = 10 cm,   i = 1 A,  N  = 10,  M = 5 A.m2

je trouve une valeur d'équilibre  z = -1,9 mm

Pour
m = 10 g,   R = 10 cm,   i = 1 A,  N  = 100,  M = 5 A.m2

je trouve une valeur d'équilibre  z = -1,8 cm

(je ne maitrise pas (encore) Python, mais ma calculette, elle, maitrise les expressions formelles , bon ceci étant je suis étourdi )

Il faut donc sacrément augmenter la puissance du dispositif ou bien zoomer autour de 0.

Par ailleurs, la méthode d'Euler étant instable pour les oscillateurs, il te faudra je crois sacrément (encore) échantillonner pour voir un semblant d'évolution conforme à la réalité.

N'ayant pas en ce moment la possibilité de faire des expériences, j'ai trouvé sur internet () l'expression de B créé par un aimant cubique de 12mm d'arête et de masse m = 13g. J'ai à partir de cette formule, tracer la courbe B = f(r) avec r : distance du centre du cube au point de mesure. Pour r compris entre 2cm et 5cm, j'ai comparé les valeurs de B à celle fournies par un dipôle magnétique de moment M :


Les deux  courbes B = f(r) coïncident pratiquement pour M = 1,90A.m²
J'obtiens ainsi la valeur de M que zebrico pourra trouver expérimentalement avec un teslamètre.
J'ai ensuite assimilé l'électroaimant à une bobine plate avec R = 2cm, N = 100. J'obtiens ainsi l'expression de la force exercée par cette bobine plate sur le petit aimant :


La dérivation introduit bien un signe "-" dans l'expression de F mais puisque le petit aimant est en z<0, la bobine attire bien le petit aimant !
J'ai représenté ci-dessous la courbe B(z) = f(z) et la courbe F=g(z) en me limitant pour la seconde courbe à -5cm > z > -2cm, j'ai superposé à cette courbe, l'horizontale d'ordonnée m.g, montrant ainsi que l'équilibre correspond à z = -4cm. Il faut donc placer le faisceau laser un peu au-dessus, en z = -3cm par exemple.

Voici une simulation sous Matlab avec les réglages décrits précédemment, le faisceau laser étant placé en z = -3cm.
Condition initiales : z=-2,7cm ; v = 0
Pour la programmation : j'ai utilisé la méthode rudimentaire décrite hier :
si z>-3cm : a= -g
si z<-3cm : a=-g+F/m
Reste à améliorer tout cela et à savoir si l'électroaimant supporte une intensité de 4A, valeur de I que j'ai choisie pour obtenir l'équilibre en z = -4cm...
Remarques : la fréquence est de l'ordre de 10Hz.
L'amplitude des oscillations semble dépendre essentiellement des conditions initiales. Il y a donc intérêt à abandonner le solide le plus près possible du faisceau laser et sans vitesse initiale.

Bonsoir, je vous remercie!
Dirac, oui j'ai remarqué pour Euler, il faut un pas extrêmement fin si on veut une "quasi-stabilité" du système, c'est pour ça que je vais voir avec Runge Kutta ce que ça peut donner.. sinon au pire j'utiliserai la fonction propre à Python pour la résolution!

Vanoise, bon, on a des valeurs différentes mais les mêmes types de courbes, c'est moi qui m'était planté sur python (encore..)


Je reviendrai plus tard, courant janvier, pour vous tenir au courant!!

mille merci à vous 3! (même si J-P semble avoir disparu et pourtant, grâce à lui j'ai changé mon schéma de résolution !!!! merci ^_^)

Bonnes fêtes et à l'année prochaine !

J'ai posté un peu tard hier soir... L'expression de B créé par un dipôle magnétique fait intervenir le cube de la distance :


Heureusement : simple étourderie dans mon utilisation de l'éditeur d'équation qui ne remet pas en cause mes calculs et donc la valeur du moment magnétique M du petit aimant...

Bonsoir,

Ok merci je n'avais pas vu.. mais n'empêche, quelle formule utilisez vous pour avoir le moment magnétique d'un dipole magnétique? Vous m'aviez dit que ce n'était pas calculable et que ça se déterminait expérimentalement... Donc j'ai loupé un épisode, mais je ne sais pas où... ^_^

Tu trouveras facilement sur le net la formule précédente. Pour la détermination expérimentale de M, à l'aide d'un teslametre trace la courbe B=f (1/r³ ) représentant les variations de la norme du vecteur B créé par le petit aimant en fonction de l'inverse du cube de la distance de la sonde du teslametre au centre du petit aimant pour r compris entre 3 et 6cm. Tu obtiens une droite dont le coefficient directeur te permet d'obtenir la valeur de M.

Bonsoir
Une précision car je ne suis pas certain que zebrico ait bien compris tout l'intérêt du dispositif de commande de l'électroaimant.
Dirac (bonjour à lui et merci pour ses interventions très constructives et pertinentes) a posé le problème de l'instabilité de la position d'équilibre en analysant l'évolution des deux forces (le poids P et la force magnétique F ) dès que l'aimant s'écarte de sa position d'équilibre. Pour avoir une position d'équilibre stable, il faudrait que la résultante des deux forces soit orientée constamment vers la position d'équilibre dès que le pendule s'en écarte vers le haut ou vers le bas (notion de "force de rappel" !) ; ce n'est pas le cas ici. Cela peut aussi se montrer en étudiant l'évolution de l'énergie potentielle :


On obtient un maximum d'énergie potentielle à la position d'équilibre z = -4cm (avec les valeurs numériques de mes messages précédents), et non une "cuvette de potentiel" comme l'évoque zebrico. Dans ces conditions, pour obtenir des oscillations, il faut nécessairement asservir le fonctionnement de l'électroaimant pour créer "électroniquement" un minimum d'énergie potentielle. C'est ce qui se passe en plaçant le faisceau laser un peu au-dessus de la position d'équilibre (en z = -3cm). La simulation rudimentaire que j'ai faite précédemment conduit à poser :





Évidemment, il s'agit d'une simplification de la réalité : l'énergie potentielle ne peut pas subir de discontinuité en z = -3cm car l'électroaimant, comme tout dipôle possédant une inductance propre L, assure la continuité de l'intensité  du courant la traversant : l'intensité ne passe pas instantanément de 0 à 4A puis de 4A à 0 !  Il faudrait comparer la constante de temps de l'électroaimant (L/R) à la demie période des oscillations pour voir si la durée d'établissement et la durée de disparition du courant (environ 5L/R) sont  négligeables ou non devant cette demie période... Je penche pour le non...
Surtout : il ne faut pas perdre de vue que toute descente du petit aimant en dessous de la position d'équilibre entraîne la chute définitive de celui-ci vers le bas !

Bonjour à vous et bonne année!

Je reviens vers vous avec une tchôte question un peu simple mais pour trouver la position d'équilibre  on est d'accord qu'on effectue un PFD avec ? Parce que quand j'essaie de résoudre avec un programme qui fonctionne et certifié, en fait je n'obtient pas de valeur possible... j'ai résolu



où



et



et en rappelant que le champ magnétique est celui d'une bobine à n spires par mètre et



où r = rayon de la bobine, L = longeur de la bobine, z = position sur l'axe z,

et je ne sais pas où je me suis planté, parce que l'expression de mon champ B et de ma force sont censés être corrects et donc je penche plutôt vers un episode que je n'ai pas du comprendre ...

Bonsoir
Cela fait bien longtemps et le problème m'est un peu sorti de la tête. Tout de même : tu peux obtenir la position d'équilibre de deux manières possibles ici :
écrire que la somme des vecteurs forces est nulle ;
écrire que l'énergie potentielle passe par un extremum ; cette seconde méthode a un avantage : celui de déterminer si l'équilibre est stable ou instable (stable pour un minimum, instable pour un maximum). Comme l'équilibre est ici instable, il y a nécessité d'un système d'asservissement... Tout cela a déjà été expliqué longuement. L'expression de la force magnétique a déjà été donnée et justifiée dans le message du   22-12-16 à 23:31 et les précédents. On obtient bien une position d'équilibre instable mais l'expression de la force magnétique obtenue n'est pas celle que tu utilises...
Bon courage !