Niveau maths spé

Surface libre liquide en rotation

Posté par
dtshp 07-09-18 à 23:24

Bonsoir,
je suis face à un exercice (apparement classique) qui cherche à déterminer l'équation de la surface libre d'un liquide qui est dans un cylindre tournant autour de son axe de révolution à vitesse angulaire $\omega$ .
C'est à la première question que je bloque : on me demande d'établir l'expression de la résultante des forces de pression s'exerçant sur un volume élémentaire $d \tau$ en coordonnées cylindriques : $d\vec{F}=(-\frac{\partial p}{\partial r}\vec{e_r}-\frac{\partial p}{\partial z}\vec{e_z})d\tau$ .
(dans ma filière, on est pas supposé connaitre $d\vec{F}=-\vec{grad}p \cdot d\tau$ ).
J'ai donc dessiné un volume élémentaire + les forces de pression qui s'exercent sur chaque face du volume et cela me donne :
$dF_r=p(r,\theta,z)rd\theta dz-p(r+dr,\theta,z)rd\theta dz=-\frac{\partial p}{\partial r}d\tau$
Pareil pas de problème, à priori pour $dF_z=-\frac{\partial p}{\partial z}d\tau$ .
Par contre je ne trouve pas $dF_\theta$ nulle : $dF_\theta=p(r,\theta,z)dr dz-p(r,\theta+d \theta,z) dz dr=-\frac{\partial p}{\partial \theta}d \theta drdz=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta}d\tau$ .

Je me doute bien que par invariance par rotation autour de l'axe de révolution, $dF_\theta$ est nulle, mais je ne vois pas comment le montrer. Donc, si quelqu'un a 2/3 minutes je veux bien comprendre!
Merci et bonne soirée.

Posté par re : Surface libre liquide en rotation 07-09-18 à 23:36

Bonsoir
Tu as déjà fait tout le travail !
Dans le cas le plus général, dF a bien l'expression que tu obtiens !
Il est évident ici, que le problème est invariant par rotation autour de l'axe (Oz). La pression ne peut donc dépendre que des variables de position r et z. Donc, en tout point :

$\frac{\partial P}{\partial\theta}=0$

Posté par re : Surface libre liquide en rotation 09-09-18 à 08:28

Bonjour,
Merci beaucoup, je pensais qu'on pouvait le démontrer « mathématiquement » mais c'est vrai que c'est évident.
Encore merci et bonne journée!

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