Niveau licence

Superposition d'ondes - Calcul d'amplitude

Posté par
mwa1 29-04-15 à 20:37

Bonjour,

J'ai deux ondes sphériques $\Psi_1 = \frac{A_1}{r_1}cos(\omega t - k r_1 + \phi_1)$ et $\Psi_2 = \frac{A_2}{r_2}cos(\omega t - k r_2 + \phi_2)$ qui se superposent.

On m'a montré comment obtenir l'expression de l'amplitude résultante en notation complexe (si quelqu'un a un lien vers le calcul en notation réelle, je suis preneur).

On prend la somme des ondes complexes :

$\tilde{\Psi} = \tilde{\Psi_1} + \tilde{\Psi_2}$

ensuite on utilise le fait que le carré de l'amplitude de l'onde est le carré du module de l'onde complexe et que $|\Psi|^2 = \Psi \Psi^*$ pour obtenir après quelques lignes de calcul l'amplitude résultante :

$A(r_1, r_2) = \sqrt{\left(\frac{A_1}{r_1}\right)^2 + \left(\frac{A_2}{r_2}\right)^2 + 2\frac{A_1}{r_1}\frac{A_2}{r_2}cos[(k r_2 - \phi_2) - (k r_1 - \phi_1)]}$

Mais j'aimerais comprendre d'où vient cette intuition qu'il faut passer par le carré de l'amplitude. Il doit jouer un rôle important parce que j'ai l'impression de le retrouver un peu partout (intensité lumineuse, energie d'un signal)

Si je somme directement sans passer par le carré, je reste bloqué à :

$e^{i\omega t}[\frac{A_1}{r_1}e^{i( - k r_1 + \phi_1)} + \frac{A_2}{r_2}e^{i( - k r_2 + \phi_2)}]$

et je n'arrive pas à mettre sous forme (Amplitude)(onde progressive) ... Comment se fait-ce ?

Posté par re : Superposition d'ondes - Calcul d'amplitude 29-04-15 à 22:29

Bonsoir,

Si tu multiplies les deux termes de ta dernière ligne par e^it,en développant et en tenant compte de e^ix=cos(x)+isin(x),après quelques calculs tu retombes sur l'expression de l'amplitude résultante

Posté par re : Superposition d'ondes - Calcul d'amplitude 29-04-15 à 23:11

Si je multiplie par $e^{i\omega t}$ , ça me donne :

$\tilde{\Psi}e^{i\omega t} = e^{2i\omega t}\left[\frac{A_1}{r_1}e^{i(-kr_1+\phi_1)} + \frac{A_2}{r_2}e^{i(-kr_2+\phi_2)}\right]$

...je vois pas ce que ça change

Posté par re : Superposition d'ondes - Calcul d'amplitude 30-04-15 à 07:40

Bonjour,

Je répondrai ce soir

Posté par re : Superposition d'ondes - Calcul d'amplitude 30-04-15 à 22:13

Bonsoir,

Tout d'abord, je voulais dire de multiplier chaque terme par e^it
d'où le coefficient multiplicateur de la parenthèse n'existe plus.

Voici le développement tout d'abord en "écriture réelle"

$\psi_1=\dfrac{A_1}{r_1}cos(\omega t-kr_1+\phi_1)=\dfrac{A_1}{r_1}cos[\omega t-(kr_1-\phi_1)] \\ \\$

$\psi_2=\dfrac{A_2}{r_2}cos(\omega t-kr_2+\phi_1)=\dfrac{A_2}{r_2}cos[\omega t-(kr_2-\phi_2)] \\ \\$

$\psi=\psi_1+\psi_2$

$\psi=\dfrac{A}{r}cos(\omega t-kr+\phi)=\dfrac{A}{r}cos[\omega t-(kr-\phi)]$

$\dfrac{A}{r}[cos\omega tcos(kr-\phi)+sin\omega tsin(kr-\phi)]=\dfrac{A_1}{r_1}[cos\omega tcos(kr_1-\phi_1)+sin\omega tsin(kr_1-\phi_1)]+\dfrac{A_2}{r_2}[cos\omega tcos(kr_2-\phi_2)+sin\omega tsin(kr_2-\phi_2)] [XX]$

En identifiant les termes en cosinus d'une part et les termes en sinus d'autre part:

$\dfrac{A}{r}cos(kr-\phi)=\dfrac{A_1}{r_1}cos(kr_1-\phi_1)+\dfrac{A_2}{r_2}cos(kr_2-\phi_2)~~(1)$

$\dfrac{A}{r}sin(kr-\phi)=\dfrac{A_1}{r_1}sin(kr_1-\phi_1)+\dfrac{A_2}{r_2}sin(kr_2-\phi_2)~~(2)$

$(1)^2+(2)^2,~~membre~~à~~membre$

$(\dfrac{A}{r})^2=(\dfrac{A_1}{r_1})^2+(\dfrac{A_2}{r_2})^2+\dfrac{2A_1A_2}{r_1r_2}[cos(kr_1-\phi_1)cos(kr_2-\phi_2)+}sin(kr_1-\phi_1)sin(kr_2-\phi_2)]$

$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

$(\dfrac{A}{r})^2=(\dfrac{A_1}{r_1})^2+(\dfrac{A_2}{r_2})^2+\dfrac{2A_1A_2}{r_1r_2}cos[(kr_1-\phi_1)-(kr_2-\phi_2)]$

$\dfrac{A}{r}=\sqrt{(\dfrac{A_1}{r_1})^2+(\dfrac{A_2}{r_2})^2+\dfrac{2A_1A_2}{r_1r_2}cos[(kr_1-\phi_1)-(kr_2-\phi_2)}]$

En complexe

$\dfrac{A}{r}e^{i(\omega t-kr+\phi)}=\dfrac{A_1}{r_1}e^{i(\omega t-kr_1+\phi_1)}+\dfrac{A_2}{r_2}e^{i(\omega t-kr_2+\phi_2)}$

Or $e^{ix}=cos x +i sin x$

$\dfrac{A}{r}[cos(\omega t-kr+\phi)}+isin(\omega t-kr+\phi)]=\dfrac{A_1}{r_1}[cos(\omega t-kr_1+\phi_1)+isin(\omega t-kr_1+\phi_1)}]+\dfrac{A_2}{r_2}[cos(\omega t-kr_2+\phi_2)+isin(\omega t-kr_2+\phi_2)}]$

$\dfrac{A}{r}[cos(\omega t-kr+\phi)}=\dfrac{A_1}{r_1}[cos(\omega t-kr_1+\phi_1)]+\dfrac{A_2}{r_2}[cos(\omega t-kr_2+\phi_2)]$ (3)

$\dfrac{A}{r}[sin(\omega t-kr+\phi)]=\dfrac{A_1}{r_1}[sin(\omega t-kr_1+\phi_1)}]+\dfrac{A_2}{r_2}[sin(\omega t-kr_2+\phi_2)}]$ (4)

Il suffit d'ajouter (3) et (4) membre à membre et procéder comme ci-dessus [XX]

Sauf erreur de recopie