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superposition d'états stationnaires

Posté par
mwa1 14-12-15 à 21:58

Bonjour,

J'ai une particule dans un puit carré infini dont l'état est décrit  par une superposition d'états stationnaires:

$|\psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\phi_1\rangle - |\phi_2\rangle)$

où $\left\{|\phi_n\rangle\right\}$ sont les états propres du hamiltonien.

La moyenne de la position est:

$\langle x\rangle = \frac{1}{2}(\langle \phi_1| - \langle\phi_2| )\hat{X}(|\phi_1\rangle - |\phi_2\rangle) \\ = \frac{1}{2}(\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_1\rangle - \langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle - \langle\phi_2|\hat{X}|\phi_1\rangle + \langle\phi_2|\hat{X}|\phi_2\rangle)$

puisque le puit est symmétrique et centré sur 0, $\langle\phi_2|\hat{X}|\phi_2\rangle = 0$    et   $\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_1\rangle  = 0$

donc :

$\langle x\rangle = -\frac{1}{2}(\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle + \langle\phi_2|\hat{X}|\phi_1\rangle) \\ = -\frac{1}{2}(\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle + (\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle)^{*})$

puisque $\hat{X}$ est hermitien, mais suis supposé trouver :

$\langle x\rangle = -\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle$

et je ne vois pas comment justifier que $(\langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle)^{*} = \langle\phi_1|\hat{X}|\phi_2\rangle$ ...

Par ailleurs, si $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ représente la moyenne de l'observable A, que représente l'expression générale d'un opérateur entre 2 états : $\langle\psi_1|\hat{A}|\psi_2\rangle$   ?

Posté par re : superposition d'états stationnaires 15-12-15 à 18:48

La seule manière de vérifier que $\hat{X}$ est hermitien est que les termes extra-diagonaux de la matrice [2,2] lui correspondant soient égaux : $\hat{X}_{12}=\hat{X}_{21}$ à savoir $<\phi_{1}|\hat{X}|\phi_{2}>=<\phi_{2}|\hat{X}|\phi_{1}>$ .
La matrice est symétrique et réelle.

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