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Niveau école ingénieur
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statique des systèmes de solides

Posté par
nano21
14-06-17 à 12:51

Bonjour tout le monde
j'ai commencé à résoudre l'exercice ci-après, et j'aurai besoin svp au premier lieu d'une vérification de la question1 et les forces extérieures exercées sur la grue. je vous remercie par avance.

Une grue, représentée schématiquement par le croquis ci-après, comporte une flèche BD articulée sur un axe B situé à l'avant du châssis. Ce Châssis est monté sur deux roues qui lui permettent de se déplacer transversalement par rapport à la flèche. Deux bras AC  et BC sont articulés sur le châssis en A et en B, ainsi qu'à l'extrémité C . De l'axe C par un câble dont l'autre extrémité est fixée au sommet de la flèche en D, et auquel est suspendue en masse m.

Dans tout le problème, on néglige le poids du système articulé, ainsi que les frottements.
On donne AB= 7,00 m  ,  AC= 4.80 m, BC = 6.40 m, BD = 12,0m et  CD= 13,00m

1. Déterminer les valeurs numériques des angles qui définissent la géométrie du système, c'est -à-dire :
• A= BAC  
• B1= ABC , B2= CBD      ,  B3= HBD
• C1= ACB    ,  C2= BCD
• D1= CDB  , D2= BDH

1. Déterminer par le calcul, les forces qui s'appliquent en D dans la flèche BD ( F BD) et dans le câble CD ( FCD). Préciser s'il s'agit de forces de traction ou de compression.
Vérifier graphiquement les résultats.

Application numérique : m=2000 kg,  g= 10 N.kg-1
3.Déterminer, graphiquement, les forces qui s'appliquent en C dans  DC ( F DC) et dans les bras BC ( F BC) et AC (F AC) .  Préciser s'il s'agit de forces de traction ou de compression. Vérifier par le calcul les résultats.
Application numérique : m= 2000 kg,  g=10 N . kg-1
4 . On suppose que le châssis a une masse M. Quelle est la masse maximale  m  que peut soulever la grue pour qu'il n'y ait pas de risque de renversement ?
Application numérique :   IJ= 5.50 m ,   M =8000 kg,   g= 10 N.kg-1


Réponse :
1)
AB= 7,00 m AC= 4,80 m BC= 6,40 m BD = 12,00 m CD = 13,00 m
Angle A= BAC :
Cos A= (c²+b²-a²)/2cb= (7²+4,8² - 6,40²)/2(7x4,80)  =  0.46
A= 62g
Angle B1= ABC :
Cos B1= (c²+a²-b²)/2ca= (7²+6,4² - 4,80²)/2(7x6,40)  =  0.74
B1= 42g
Angle B2= CBD :
Cos B2 = (d²+c²-b²)/2 dc= (6,4² +12²- 13²)/2(6,40x12)  =  0.10
B2= 84 g
Angle B3= HBD :
Cos B2 = (d²+c²-b²)/2 dc= (6,4² +12²- 13²)/2(6,40x12)  =  0.10
B1 + B2 + B3 = 180 g
B3 = 180- (42 +84  )  = 54g
Angle C1= ACB :
Cos C1= (b²+a²-c²)/2ba= (4.8²+6,4² - 7²)/2(4.8x6,40)  =  0.24
C1= 76g
Angle C2= BCD:
Cos C2= (b²+d²-c²)/2bd= (13²+6,4² -12²)/2(13x6,40)  =  0.39
C2= 67 g
Angle D1= CDB:
Cos D1= (b²+c²-d²)/2bc= (13²+12² -6.4²)/2(13x12)  =  0.87
D1= 29 g
Angle D2= BDH:
D2= 36 g



L'équilibre de la grue et de la charge est soumis aux forces extérieurs :

Forces à distance
P Le poids la masse en bout de flèche, de direction verticale orientée vers le bas et d'intensité P=mg, force totalement connue 20000N
p  Le poids de l'appareil de centre de gravité G( force inconnue).
Q poids du contrepoids de centre de gravité G', dont l'intensité est connue M.g=80000N
F(BD) Force exercé par le flèche dont l'intensité est inconnue
F(CD) Force exercé par le câble dont l'intensité est inconnue

Forces à de contact:
R I résultantes des forces de contact sur la roue I dont le support est vertical passant par I dont le sens est vers le haut,
R j analogue en J à la précédente  
Appliquons la première condition d'équilibre :
∑▒F  ext    = 0       ;  P  + p + Q + F(BD) +F(CD)  + RI + RJ   =0
On projetant sur l'axe Oy :
-P-p-Q- FBD - FCD  + RI + RJ   =0
Appliquons la deuxième condition d'équilibre :
∑▒M A ( Fext )   = 0  =    MA (P)  + MA (p ) + MA (Q)   + MA (FBD)   + MA (FCD)  +  M A (RI) + M A (RJ )  =  0  

statique des systèmes de solides

statique des systèmes de solides

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 14-06-17 à 15:02

Bonjour
L'énoncé demande d'abord de calculer la tension du câble et la force exercée par la flèche en D ; cela ne se fait pas par une étude globale de la grue mais simplement  en étudiant l'équilibre de la flèche ou même en considérant que le point D est immobile...
OK pour l'étude des angles.

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 01:14

bonsoir vanoise...merci pour ta réponse..
une petite  erreur sur la figure (Angle  B3=54°  et D2=36°)
L= longueur de la flèche

∑F  ext    = 0   Fx = T  cos 36º
Fy = 0  = F (BD)+ T  sin 36º + m.g
F(BD) (½ L cos 54º) + T  sin 36º (L cos 54º) + mg (L cos 54º) = T  cos 36º (L sin 54º)

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 12:39

Je ne comprends pas ce que représente cette force F appliquée au milieu de la flèche : le poids de celle-ci est négligeable devant le poids de la charge...
Pour la question 2, le plus rigoureux consiste à isoler la flèche et à étudier son équilibre sous l'action des trois forces représentées en magenta sur le schéma ci-dessous :
FCD la tension du câble en D
TD la tension du câble vertical égale au poids puisque le poids du câble est négligeable
FDB  l'action du châssis en B
Le théorème des moments statiques appliqué en B donne directement l'intensité FCD
La projection sur un axe colinéaire à BD de la relation entre les trois vecteurs force donné immédiatement FDB.

statique des systèmes de solides

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 15:29

bonjour vanoise..je te remercie beaucoup ...je sais que je vous casse la tête avec mes exercices..
alors le système étant en équilibre donc:

FCD + FDB  + P (TD) =0

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 15:48

Théorème des moments en B ou projection de la relation vectorielle entre les trois force sur un axe perpendiculaire à BD :

F_{CD}\cdot\sin\left(29\text{\textdegree}\right)=m.g\cdot\sin\left(37\text{\textdegree}\right)

Projection de cette relation sur un axe colinéaire à BD :

F_{DB}=m.g\cdot\cos\left(37\text{\textdegree}\right)+F_{CD}\cdot\cos\left(29\text{\textdegree}\right)

Je te laisse faire l'étude en C : elle est quasi identique.

Pour la suite : l'énoncé ne parle pas de contre-poids. Le message suivant évoque un contre-poids de centre de gravité G' mais rien n'est dit sur la position de ce point...
Tu ne m'as pas répondu concernant F appliquée au milieu de la flèche ; et le p (flèche rouge) ?

statique des systèmes de solides

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 16:39

F est la Force exercée par le flèche dont l'intensité est inconnue

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 16:42

ah pardon!! le 'p' représente le poids de l'appareil, force totalement inconnue.

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 17:27

Théorème des moments en C :
FBD  . sin29= mg sin37

Projection de cette relation sur un axe colinéaire à CD :
FCD =  mg cos37+ FBD cos29

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 17:39

je me suis trompée au niveau  du C...je vais refaire

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 18:03

Théorème des moments en C  :
FDC sin67° =FAC sin76°

Projection de cette relation sur un axe colinéaire à CB
FCB =  FAC cos76°+ FCD COS67°

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 15-06-17 à 18:38

OK avec ton dernier message.
Il faut aussi tenir compte du fait que la masse du câble est d'influence négligeable. La tension se conserve le long du câble :
FDC=FCD (norme des vecteurs)
Or, FCD a été calculée à la question précédente.

Citation :
F est la Force exercée par le flèche dont l'intensité est inconnue

Cette phrase est très imprécise : pour être rigoureux, on parle obligatoirement de force exercée sur ??? par ???
Principe des actions réciproques (aussi appelé principe de l'action et de la réaction) :
Si un corps n° 1 exerce sur un corps n° 2 une force \vec{F_{12}} , le corps n°2 exerce nécessairement sur le corps n° 1 au même instant la force \vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}} .
La flèche exerce donc sur le chassis en B la force \left(-\overrightarrow{F_{DB}}\right) et la flèche exerce en D sur les câbles la force \left(-\overrightarrow{F_{CD}}-\overrightarrow{T_{D}}\right)=\overrightarrow{F_{DB}}
Tu n'as pas répondu à ma question sur le contre-poids et la position de G'.

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 01:33

bonsoir vanoise
le châssis a une masse M présente un contrepoids Q dont l'intensité est connue M.g=80000N

Posté par
J-P Correcteur
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 08:06

Attention quand même.

nano21 a utilisé l'unité "g" pour les angles ... ce qui me fait penser à l'unité désuète de "grade"

Néanmoins les valeurs numériques qu'il donne des angles sont OK en degrés.

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 08:39

Citation :
nano21 a utilisé l'unité "g" pour les angles ... ce qui me fait penser à l'unité désuète de "grade"

exact dans son premier message mais il a rectifié de lui-même ensuite :
Citation :
Théorème des moments en C  :
FDC sin67° =FAC sin76°

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 08:47

Bonjour nano21
Tu ne précises pas la position du centre de gravité G' du contre-poids... En général, ce genre de contre-poids est placé plutôt à l'arrière du chassis...
Je te laisse continuer...

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 11:44

bonjour,

merci vanoise....merci J-P

vanoise j'aurais besoin encore de ton aide pour me vérifier ce calcul
Application numérique : m=2000 kg,  g= 10 N.kg-1

les forces qui s'appliquent en D
FCD =   (m.g  .sin (36°))/(sin (29°) ) =24248 N
FDB =   2000 x 10 x cos⁡〖(36°)+24248 x cos⁡(29°) 〗  = 37388 N

3.les forces qui s'appliquent en C dans  DC ( F DC) et dans les bras BC ( F BC) et AC (F AC)
Théorème des moments en C  :
FDC sin67° =FAC sin76°

Projection de cette relation sur un axe colinéaire à CB
FC =  FAC cos76°+ FCD COS67°
Application numérique : m= 2000 kg,  g=10 N . kg-1

Le fait que la masse du câble est d'influence négligeable. La tension se conserve le long du câble :
FDC=FCD (norme des vecteurs)

FDC = FCD = 24248 N
FDC sin67° =FAC sin76°
FAC =22320/ sin76°
FAC =23003  N

FBC =  FAC cos76°+ FCD COS67°
FBC =  23003  cos76°+ 24248 COS67°= 15039 N

4 . On suppose que le châssis a une masse M. Quelle est la masse maximale  m  que peut soulever la grue pour qu'il n'y ait pas de risque de renversement ?
Application numérique :   IJ= 5.50 m ,   M =8000 kg,   g= 10 N.kg-1

IJ/2 x M.g -   BD cosB3  x m= 0
BD cosB3  x m  = IJ/2 x M.g
12 cos(54°) x m  =5.5/2 x 8000x10
m  =220000/12cos(54°)
m = 31190 N



Merci .

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 11:45

m = 31190 kg

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 16-06-17 à 16:10

Une remarque préliminaire concernant les nombres de chiffres significatifs à fournir. Ce nombre doit être, en toute rigueur, égal au nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise utilisée et fournie par l'énoncé. Ici, g étant arrondi à 10N/kg, il faudrait en toute rigueur fournir seulement 2 chiffres significatifs et non pas 5 comme tu le fais. Attention : lorsque plusieurs calculs s'enchaînent, il faut arrondir les résultats intermédiaires comme je viens de l'expliquer tout en conservant en mémoire de la calculatrice tous les chiffres significatifs pour les calculs suivants. Sinon, les arrondis successifs peuvent conduire au final à de grossières erreurs. Ici, le concepteur de ton énoncé ne semble guère se préoccuper de ce genre de choses... Dans ces conditions, je conseille un compromis : fournir 3 chiffres significatifs. Il y a de toutes façons deux grosses fautes à éviter à ce sujet car très durement sanctionnées aux examens et concours :

* fournir un résultat avec des nombres autres que décimaux : fractions, racines carrées, expression en fonction de  \pi ... comme si un ampèremètre pouvait mesurer 10/3 d'ampères ou un voltmètre mesurer \sqrt{\pi} volts !

* fournir un résultat avec tous les chiffres significatifs de la calculatrice...

Bref : je te conseille ici d'arrondir tes résultats avec 3 chiffres significatifs.

A cette réserve près, je suis d'accord avec tes calculs de la question 3. Une remarque tout de même : la relation F_{AC}.\sin\left(76\text{\textdegree}\right)=F_{DC}.\sin\left(67\text{\textdegree}\right) s'obtient soit en projetant la condition d'équilibre en C sur un axe perpendiculaire à BC soit en appliquant le théorème des moments statiques en B à la tige BC. Pas le théorème des moments en C comme tu l'as écrit.

Concernant la question 4 : comment justifies-tu ton calcul ? Quel système choisis-tu ? Je pense que tu supposes l'absence de contre-poids. Je pense aussi qu'il faut prendre en compte le fait que la distance entre les roues vaut 5,50m alors que la largeur AB du châssis vaut 7m.
Je te laisse continuer...

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 17-06-17 à 13:00

Bonjour vanoise , tout d'abord merci pour toutes ces explications claires, détaillées.....effectivement pour la question 5 j'ai pris en considération juste le poids du châssis puisque  l'énoncé   n' évoque pas le contrepoids ....
je pense j'ai oublié de déduire aussi la distance entre la roue J et le point B

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 17-06-17 à 14:16

Si tu prends comme système la grue seule, les forces extérieures sont :
1° les deux actions du sol sur les roues : RI et RJ
2° le poids du châssis M.g
3° la tension du câble TD
Tu peux aussi choisir comme système l'ensemble {grue - charge} ; les forces extérieures sont alors :
1° les deux actions du sol sur les roues : RI et RJ
2° le poids du châssis M.g
3° le poids de la charge m.g
Les deux choix vont conduire au même résultat heureusement. Il est indispensable, dans un système un peu complexe, de bien choisir le système ou le sous-système à isoler : de ce choix, dépend la classification des forces en "intérieures" ou "extérieures"  ; or, seules les forces extérieures sont à prendre en compte dans l'étude du mouvement ou l'étude de l'équilibre.
Rien de très précis n'est dit sur les roues. Comme je pense tu l'as fait, le mieux consiste à appliquer le théorème des moments au système au "point" de contact de la roue "J" avec le sol (évidemment, le contact n'est pas rigoureusement ponctuel...)

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 17-06-17 à 14:44

vanoise c'est-a-dire avec :
1les deux actions du sol sur les roues : RI et RJ
2° le poids du châssis M.g
3° le poids de la charge m.g

on aura :
IJ/2 x M.g - BD cosB3+JB  x m= 0
BD cosB3+JB    x m  = IJ/2 x M.g
12 cos(54°)+0,75 x m  =5.5/2 x 8000x10
m  =220000/7.8

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 17-06-17 à 15:23

Je me demande si tu ne confonds pas parfois masse et poids ; ici, g disparaît du calcul.
J'espère que tu es capable de rédiger quelques phrases d'explications à tes calculs... Le système choisi est donc l'ensemble {grue - charge}. La charge maximale admissible correspond au cas limite d'un équilibre du système avec RI=0. Le théorème des moments statiques appliqué au point de contact de la roue "J" avec le sol conduit à :
\frac{d}{2}\cdot M\cdot g=\left[\left(\frac{L-d}{2}+BD\cdot\cos\left(54\text{\textdegree}\right)\right)\right]\cdot m_{max}\cdot g
avec :
L = 7m : largeur du châssis ;
d = 5,5m : distance entre les centre des roues.
Ainsi :

m_{max}=\frac{d}{L-d+2.BD.\cos\left(54\text{\textdegree}\right)}\cdot M
Comme déjà expliqué, j'arrondis à trois chiffres significatifs et obtiens :
mmax = 2,82t

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 17-06-17 à 16:20

je te remercie vanoise .....bon wekend...je te laisse te reposer

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 19-06-17 à 00:20

bonsoir vanoise,
dis moi stp les forces qui s'appliquent en D ce sont des forces de traction et les forces qui s'appliquent en C ce sont des forces de compression?

Posté par
vanoise
re : statique des systèmes de solides 19-06-17 à 13:07

Bonjour
Comme déjà expliqué, la flèche est soumise à trois forces extérieures :

celle exercée par le châssis : \overrightarrow{F_{DB}}
celles exercées par les deux câbles en D : \overrightarrow{F_{CD}} et \overrightarrow{T_{D}}

Puisque : \overrightarrow{F_{BD}}=\overrightarrow{F_{CD}}+\overrightarrow{T_{D}}
on voit clairement sur la figure que ces forces extérieures tendent à comprimer la flèche (celle-ci diminuerait de longueur si elle était élastique).

Raisonnement analogue pour la tige BC : les trois forces extérieures sont :
celle exercée par le châssis : \overrightarrow{F_{DC}}
celles exercées par les deux câbles en C : \overrightarrow{F_{AC}} et \overrightarrow{F_{DC}}
Puisque : \overrightarrow{F_{BC}}=\overrightarrow{F_{DC}}+\overrightarrow{F_{AC}}
on voit clairement sur la figure que ces forces extérieures tendent à comprimer la tige BC. Évidemment, les câbles sont tendus...

statique des systèmes de solides

Posté par
nano21
re : statique des systèmes de solides 19-06-17 à 14:16

merci beaucoup vanoise.

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