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Stabilité d'une molécule

Posté par
Bobinette 02-03-16 à 21:51

Bonsoir ! J'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème ...

Voici l'énoncé :

On considère une molécule diatomique (comme le chlorure d'hydrogène HCl) dont les deux atomes sont distants de r. H (m_H = 1,66.10^{27} kg) est beaucoup plus léger que Cl. On considère donc le mouvement de H par rapport à Cl, considéré comme fixe. H porte une charge partielle q_1 = +\delta e et le chlore q_2 = -\delta e avec \delta = 0,26
L'énergie potentielle d'interaction s'écrit E_p(r) = -\frac{B}{r}+\frac{A}{r^9} avec A=1,45.10^{-109} USI et B une constante positive. On donne le tracé de l'énergie potentielle E_p(r) (en Joules)

a) Le terme -B/r provient de l'interaction coulombienne électrostatique. Est-elle répulsive ou attractive ? On donne la permittivité du vide \epsilon_0 = 8,85.10^{-12} USI. La force d'interaction coulombienne entre deux charges q_1 et q_2 séparées de r s'écrit \vec{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\vec{e_r}. Exprimer B en fonction de \delta, e et \epsilon_0 et en déduire sa valeur numérique. Proposer une origine possible du terme en A/r^9

b) Le mouvement est supposé conservatif et unidimensionnel. Discuter qualitativement des mouvements possibles pour l'atome le plus léger

c) Déterminer la distance r_e à l'équilibre en fonction de A et B. Que représente chimiquement cette grandeur ? Faire l'application numérique et confirmer cette valeur avec le graphe. La position d'équilibre est-elle stable ou instable ?

d) Calculer en eV l'énergie potentielle pour franchir la barrière d'énergie et dissocier la molécule. L'énergie de dissociation de HCl est environ 4eV, discuter la validité du modèle.



Pour la question 1, je pense que l'interaction coulombienne est attractive car H et Cl ont des charges opposées.
Ensuite pour exprimer B j'ai commencé par dire que F(r) =-\frac{dEp}{dr}
En calculant j'ai trouvé que : -\frac{dEp}{dr} = -\frac{B}{r^2} + \frac{9A}{r^10}

On a donc \vec{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\vec{e_r} = -\frac{B}{r^2} + \frac{9A}{r^10}

Mais après je me retrouve avec r dans l'expression alors qu'on me demande d'exprimer B seulement en fonction de \delta, e et \epsilon_0

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 03-03-16 à 00:06

Bonsoir,

Question 1

Citation :
Le terme -B/r provient de l'interaction coulombienne électrostatique

Donc, lorsqu'on utilise la force électrostatique, il ne faut pas utiliser le terme A/r9.

  \Large \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}= -\frac{B}{r^2}

Donc simplification par  r^2

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 03-03-16 à 14:33

Merci pour ton aide

Par contre lorsqu'on me demande quelle est l'origine possible de A/r^9 je ne vois pas du tout...


Ensuite pour la question b, on nous dis que le mouvement est conservatif, du coup l'énergie se conserve, et on sait que le mouvement est unidimensionnel.
Je pense que l'atome le plus léger  donc un mouvement circulaire autour de Cl mais je ne suis pas du tout sûr de ça ...

Merci d'avance pour votre aide  

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 03-03-16 à 22:30

Le terme   \large -\,\frac{B}{r}   a un effet attractif. Le terme    \large \frac{A}{r^9}     a un effet répulsif.
Je pense qu'il s'agit de l'effet répulsif dû aux noyaux des atomes. Il a un effet à très courte distance (terme en 1/r9).

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 05-03-16 à 14:30

Merci pour ton aide Aragorn

Pour la question b, est-ce que ce que j'ai dis est juste ?

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 05-03-16 à 21:28

Citation :
Je pense que l'atome le plus léger  donc un mouvement circulaire autour de Cl

Si le mouvement est unidimensionnel, on ne peut pas avoir un mouvement circulaire qui est à deux dimensions. Le mouvement ne peut être qu'une oscillation sur un axe (une dimension), l'axe rejoignant les centres des atomes.

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 05-03-16 à 21:29

Comme un pendule à ressort...

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 05-03-16 à 23:14

Ah oui j'avais pas du tout imaginé ça comme ça ! Merci pour ton aide.

Pour la suite, je devais trouver r_e, la distance à l'équilibre en fonction de A et B.
Pour la trouver j'ai calculer a dérivé de Ep(r) et on sait que la position à l'équilibre s'obtient en annulant la dérivée de Ep(r)

J'ai d'abord trouvé que Ep(r) = \frac{B}{r^2} - \frac{9a}{r^{10}}

et j'ai finalement trouvé que :
\frac{B}{r^2} - \frac{9a}{r^{10}} = 0 \Longleftrightarrow r_e = 0

Je ne suis pas sûr de ma réponse par contre..

On me demande ensuite que représente chimiquement cette grandeur :
Je pense qu'on dit qu'il y a équilibre lorsque la force d'interaction entre les charges est nulle.


Par contre comment savoir si la position d'équilibre est stable ou instable ?

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 05-03-16 à 23:44

r_e\,=\,0   ne peut pas être une bonne réponse !...
La position d'équilibre  r_e  correspond à l'énergie potentielle E_p minimale c'est-à-dire quand la dérivée  \left(\frac{dE_p}{dr}\right)_{r_{e}}\,=\,0
La position d'équilibre est stable si la dérivée seconde  \left(\frac{d^2E_p}{dr^2}\right)_{r_{e}}\,>\,0

Pour calculer r_e  en fonction de A et B, on a :

\Large E_p\,=\,-\,\frac{B}{r}\,+\,\frac{A}{r^9}
\Large \frac{dE_p}{dr}\,=\,\frac{B}{r^2}\,-\,\frac{9A}{r^{10}}
\Large \frac{d^2E_p}{dr^2}\,=\,-\,\frac{2\,B}{r^3}\,+\,\frac{90\,A}{r^{11}}

\Large \frac{dE_p}{dr}\,=\,\frac{B}{r^2}\,-\,\frac{9A}{r^{10}}\,=\,0
\Large \frac{B\,r^8\,-\,9\,A}{r^{10}}\,=\,0\,\Rightarrow\,B\,r^8\,=\,9\,A\,\Rightarrow\,r^8\,=\,\frac{9\,A}{B}\,\Rightarrow\,r\,=\,\left(\frac{9\,A}{B}\right)^{\frac{1}{8}

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 06-03-16 à 11:28

Oui j'ai trouvé le même résultat mais après lorsque je calcule r_e je trouve 0 ou en tout cas une valeur très très proche de 0 et ma calculatrice me met 0.

On nous donne A = 1,45.10^{-109}
et pour B j'avais montré  à la question a) que :
B = \frac{(\delta e)^2}{4\pi\epsilon_0} = 1.6.10^{-29}

Avec ces valeurs numériques je trouve 0 ....

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 06-03-16 à 12:57

Citation :
Oui j'ai trouvé le même résultat mais après lorsque je calcule r_e je trouve 0 ou en tout cas une valeur très très proche de 0 et ma calculatrice me met 0.


Comment est réglée ta calculatrice ?
Il faut que l'affichage soit sur "scientifique"  (ou éventuellement "ingénieur"), pas sur "normal" . Si l'affichage est sur "normal", tu vas trouver 0 parce que le nombre est très petit.
Mais 0  comme réponse n'a pas de sens. Cela voudrait dire que les atomes sont superposés !...

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 06-03-16 à 15:07

J'ai essayé de changer ça mais quand je retape le calcul en entier ça me donne toujours 0

Du coup j'ai fais le calcul en plusieurs fois, je trouve r_e = 1,3.10^{-10}
J'espère que c'est bon cette fois

Ensuite pour savoir si la position d'équilibre était stable ou instable j'ai étudier les variation de \frac{dEp}{d} et j'ai trouvé qu'elle était croissante jusqu'à\frac{dEp}{d} =0 puis décroissante donc la position d'équilibre est un maximum et elle est instable

Jusque là tout va bien ?

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 06-03-16 à 21:56

Je suis allé trop vite, je voulais dire stable

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 06-03-16 à 21:57

Non instable !

Cette fois-ci c'est bon

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 00:04

Je vais faire le calcul...
Tu as quoi comme calculatrice ? Une TI 83 ou 84 ?

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 00:57

\Large B\,=\,-\,\frac{q_1\,q_2}{4\pi \epsilon_0}\,=\,-\,\frac{+\delta\,e\,(-\delta)\,e}{\frac{1}{9.10^9}}\,=\,9.10^9\,\delta^2\,e^2

\Large B\,=\,9.10^9.0,26^2.(1,602.10^{-19})^2

\Large B\,=\,1,56.10^{-29}\,\,SI

Citation :
avec A=1,45.10^{-109} USI

Tu es sûr du " -109" ?

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 02:06

OK pour  r_e\,=\,1,3.10^{-10}\,\,m

\Large \frac{d^2E_p}{dr^2}\,=\,-\,\frac{2\,B}{r^3}\,+\,\frac{90\,A}{r^{11}}\,=\,\frac{-2Br^8+90A}{r^{11}}
On a :
\Large r^8\,=\,\frac{9A}{B}

\Large \frac{-2B\frac{9A}{B}+90A}{r^{11}}\,=\,\frac{-18A+90A}{r^{11}}\,=\,\frac{72A}{r^{11}}

A > 0 , r^{11}\,>\,0\,\Rightarrow\, \frac{d^2E_p}{dr^2}\,>\,0

Donc l'équilibre est stable

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 13:36

Pour le calcul, il faut faire le calcul sur les puissances de 10 à la main parce que, si j'ai bien compris, la TI-84 n'accepte pas les exposants à 3 chiffres...

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 18:58

Merci pour ton aide
J'ai un casio graph 35+, et j'ai fini par faire les calculs à la main.

Pour la question d) je ne vois pas par ou commencer...

En fait je ne comprend pas à quelle condition une molécule peut se dissocier ... C'est à partir d'une certaine distance r ?

Merci encore pour ton aide.

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 21:44

La molécule est dissociée quand on a éloigné à l'infini les deux atomes l'un de l'autre.
\large E_d\,=\,E_p(+\infty)\,-\,E_p(r_e)
On sait que    \large E_p(+\infty)\,=\,0   donc :
\large E_d\,=\,-\,E_p(r_e)

Il suffit donc de calculer  \large E_p(r_e)

Posté par
Bobinettere : Stabilité d'une molécule 07-03-16 à 23:31

Merci pour ton aide ! J'ai enfin terminé mon exercice

Posté par
Aragornre : Stabilité d'une molécule 08-03-16 à 13:56

N'oublie pas que Ep est en joules si r est en mètres. Il faut la transformer en eV.


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