Niveau maths spé

Sphère supraconductrice dans un champ uniforme

Posté par
sigur 28-10-11 à 11:33

Bonjour, je bloque sur mon devoir :

Énoncé : Une sphère métallique non magnétique, de rayon R, centrée en O est plongée dans un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B_{0}}=B_{0}\overrightarrow{u_{z}}$ . A une température très basse, le métal composant la sphère est un supraconducteur.
L'expérience montre qu'alors, le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ est nul à l'intérieur de la sphère.

1) a)Donner les équations vérifiées par le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ à l'extérieur de la sphère.
    b)Rappeler l'expression de la discontinuité du champ $\overrightarrow{B}$ à la traversée d'une nappe de courant. En déduire quelle est la composante ( normale ou tangentielle) de $\overrightarrow{B}$ qui est continue à la surface de la sphère.
    c)En déduire les conditions aux limites imposées à $\overrightarrow{B}$ sur la sphère et à l'infini.
    d)Afin de déterminer le champ $\overrightarrow{B}$ en tout point de l'espace extérieur à la sphère, on procède à une analogie électrostatique : on superpose un champ électrostatique uniforme $\overrightarrow{E_{0}}=E_{0}\overrightarrow{u_{z}}$ et celui d'un dipôle électrostatique placé en O de moment $\overrightarrow{p}=-p\overrightarrow{u_{z}}$

Montrer que les champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ vérifient les mêmes équations et les mêmes conditions aux limites à condition de donner à $\overrightarrow{p}$ une valeur convenable que l'on déterminera.
    e)Déduire de la question précédente les expressions des composantes du champ $\overrightarrow{B}$ à l'extérieur de la sphère.
    f) tracer l'allure de ces lignes de champ.

Pour l'instant j'ai :
1) a) Ce sont les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Ampère : $div\overrightarrow{B}=0$ et $rot\overrightarrow{B}=\mu_{0}\overrightarrow{j}$ .
   b) L'expression de la discontinuité de $\overrightarrow{B}$ est $\overrightarrow{B_{2}}-\overrightarrow{B_{1}}=\mu_{0}\overrightarrow{j_{s}}\wedge\overrightarrow{n_{1->2}}$ . Donc c'est la composante normale de $\overrightarrow{B}$ qui est continue.
   c) Comme la composante normale de $\overrightarrow{B}$ est ici $B_{r}$ on a sur la sphère $B_{r}=0$ .

Bon c'est là que je commence à bloquer. Pour l'infini à mon avis on doit avoir $\overrightarrow{B}=B_{0}\overrightarrow{u_{z}}$ mais je ne vois pas comment le justifier à part en disant que le champ créé par la sphère est nul à l'infini.

   d)Là ça commence à partir en vrille : si je prends un dipôle horizontale centré en O,j'appele son angle $\alpha$ alors on a $\alpha=\frac{\Pi}{2}-\theta$ en me mettant en coordonnées sphériques.
Or pour un dipôle j'ai $\overrightarrow{E} = \frac{pcos(\alpha)}{2\Pi\epsilon_{0}r^3}\overrightarrow{e_{r}}+\frac{psin(\alpha)}{4\Pi\epsilon_{0}r^3}\overrightarrow{e_{\theta}}$
Donc ici j'ai $\overrightarrow{E} = (\frac{psin(\theta)}{2\Pi\epsilon_{0}r^3}+E_{0})\overrightarrow{e_{r}}+\frac{pcos(\theta)}{4\Pi\epsilon_{0}r^3}\overrightarrow{e_{\theta}}$ .
Ainsi pour que les deux champs vérifient les mêmes conditions aux limites il faut p = $-\frac{2\Pi E_{0}\epsilon_{0}R^3}{sin(\theta)}$ .C'est possible ça ? que p dépende de $\theta$ ?.

e)Je vois pas trop comment faire l'analogie à part en remettant pratiquement la même chose en remplaçant le p comme il faut du genre :
$\overrightarrow{B}=B_{0}(1- \frac{R^3}{r^3})\overrightarrow{e_{r}}+\frac{B_{0}R^3}{2r^3tan(\theta)}\overrightarrow{e_{\theta}}$
f) Je pressens à quoi ça doit ressembler (le champ contourne la sphère ) mais avec la formule juste au dessus je ne vois pas du tout comment y arriver.

Merci d'avance pour l'aide.