Niveau licence

Sphère métallique dans un champ électrique uniforme

Posté par
Mat_i 01-11-13 à 12:35

Bonjour! j'aurais besoin d'aide concernant un exercice, je bloque dès le début... Je vous remercie d'avance de l'aide apportée!

1-1)Une façon simple de modéliser les modifications du champ et du potentiel électriques induites par la présence de la sphère métallique consiste à remplacer les excès de charges négative et positive par deux charges ponctuelles q et -q avec q > 0 (un dipôle) placées aux extrémités de la sphère.

Les charges q et -q sont telles que le champ électrique total (champ électrique extérieur (vecteur(E_ext)  et champ électrique créé par les charges q et -q) est nul au centre O de la sphère.

        1.1.1. En déduire la valeur de q en fonction de (vecteur(E_ext)   et de R, le rayon de la sphère.
        2.1.2. Montrer que le moment dipolaire induit par le champ électrique extérieur vecteur p_ind et correspondant aux charges q et -q a pour intensité :  vecteur p _ind=4epsilon(vecteur(E_ext)R³

1.2) On considère un champ électrique uniforme vecteur E_extdirigé suivant l'axe des x et vers les x >0

        1.2.1. Montrer en utilisant la relation vecteur E= -gradV que le potentiel électrique
correspondant au champ électrique E_ext uniforme s'écrit : V(x ,y ,z )= -Vecteur E_extx+V(0) où V(O) est le potentiel électrique au point O (x=0). Comment sont les équipotentielles ?

       1.2.2. En déduire l'expression du potentiel V(M) pour un point M du cercle de centre O et de rayon R en fonction de θ et R

Posté par re : Sphère métallique dans un champ électrique uniforme 02-11-13 à 15:26

Bonjour,

Le champ electrique totale en O est nul, et les charges sont placées à une distance R de O.
on a donc (1/4**)*(q/R²) + (1/4**)*(-q/R²)(-) + vectE_ext = 0

Les 2 premiers terme sont égaux et on a donc:

2* (1/4**)*(q/R²) + vectE_ext = 0

<=> |(1/2**)*(q/R²)| = |- vectE_ext|
<=> (1/2**)*(q/R²) = E_ext

1.1.1

d'où q = E_ext* R² * 2 * *

1.1.2

le moment dipolaire vectd = q_i.vectr_i
avec vectr_i = R*_i

on a donc vect d = q * R * + (-q) * R * (-)
                 = 2 * q * R *
                 = 4 * * * E_ext * R³ * = vect p_ind

1.2.1
E = -grad V
<=> E = -V/x - V/y - V/z

Or E n'est que selon x et ne peut donc pas dépendre de y ni de z

on obtient E = -V/x

D'où V(x,y,z) = V(x) = -E dx

Dans notre cas, E_ext est uniforme et constant donc

V(x) = -E_ext dx
     = -E_ext * dx
     = -E_ext * x + K où K est la constante d'intégration (vu qu'on intègre sans bornes)

En x = 0, V(0) = V₀ = K

Donc V(x) = -E_ext*x + V₀ avec V₀ le potentiel en x = 0

1.2.2)
Là je suis désolé je sais pas trop quoi répondre.. :/ enfin j'espère t'avoir aidé un peu