Bonjour, je cherche le détail de la réponse au 2° de l'exercice ci-dessous, qui mène à l'application numérique donnée en réponse à la fin :

Le but de cet exercice est de préciser la méthode utilisée par Gauss pour déceler un éventuel écart entre la géométrie du monde réel et la géométrie euclidienne, en examinant tout d'abord le cas d'un espace à deux dimensions.
Les différents points d'une sphère de rayon R sont repérés par les deux coordonnées angulaires et , la colatitude et l'azimut, et la distance élémentaire ds est donnée par :
           ds²=R²(d²+sin²d²)
   On démontre qu'on ne peut pas trouver de transformation x(,),y(,) permettant d'écrire de ds² sous la forme :
           ds²=dx²+dy² ;
la surface de la sphère, considérée comme un espace à deux dimensions, a une géométrie non euclidienne à courbure constante ; les équivalents des droites sont des grands cercles (géodésiques).
   Tracer sur une sphère le grand cercle équatorial et deux méridiens ; ceux-ci coupent le cercle équatorial à angle droit, et se coupent au pôle sous l'angle . La somme des angles de ce triangle géodésique est donc + ; l'angle représente donc l'écart à la géométrie euclidienne.
   1° Relier l'"excès sphérique" à la surface S du triangle et au rayon R de la sphère ; la relation ainsi obtenue dans un cas particulier est vraie pour tout triangle géodésique tracé sur la sphère. Pour une surface S donnée, comment varie en fonction de R ?
   2° Pour des raisons d'homogénéité, on peut admettre la validité de la relation précédente pour un espace à trois dimensions (à un facteur multiplicatif près éventuellement). En supposant que l'on puisse faire des mesures d'angles à la seconde d'arc près, dans un triangle compris dans l'orbite terrestre de rayon a=1,5.10¹¹ m, quel rayon de courbure R de l'espace pourrait-on ainsi déceler ?
(A titre de comparaison, un modèle de la relativité générale, l'espace statique d'Einstein, attribue à l'espace un rayon de courbure R₀=3,3.10²⁶ m.)

Réponse (comment arriver à l'application numérique SVP !) :

=S/R². A.N. : R=7,76.10¹³ m