Niveau maths spé

Solénoide avec enroulement hélicoidal

Posté par
EvDavid 21-02-18 à 00:18

Bonsoir,

J'essaie de résoudre un exercice de magnétostatique mais je n'arrive pas vraiment à l concevoir la notion. Je pense que l'énoncé manque de précision mais je doute. J'espère que vous pourrez m'aider à clarifier la question et à avancer.
L'énoncé:
Un bobinage à spires non jointives, parcouru par un courant d'intensité I, a la forme d'une hélice d'axe Oz, de rayon R et de pas h; ses équations paramétriques sont :
$x=Rcos(\theta )$ , $y=Rsin(\theta )$ , $z=\frac{h\theta }{2\pi }$
où $\theta$ varie de $-\theta _{M}$ à $\theta _{M}$
1) Déterminer la composante axiale du champ magnétique au centre O
2) Que retrouve-t-on dans le cas où h<<R.
Je n'arrive pas à imagine ce bobinage hélicoidal. Car, selon la plage de variations de $\theta$ on a pas une hélicoide mais seulement un élément d'une hélice. Et puis supposons que c'est une hélicoide, ce ne sont pas des spires non jointives non?
Sinon j'ai essayé de résoudre la première question en utilisant la loi de Biot et Savat au point O je trouve le résultat suivant : $B_{z}(O)=\frac{\mu _{0}I}{h}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{2\pi R}{h\theta _{M}}})^{2}}$ . Ceci en prenant O comme centre du référentiel et non comme centre du solénoide ( ce n'est pas précisé dans l'énoncé ).
Pour la deuxième question, je sais que je devrai faire ce raisonnement : " les spires peuvent être considérées jointives " et je devrai trouver le champ magnétique dans le cas d'un solénoide à spires jointives. Mais je n'arrive pas à le concevoir comme dit plus haut, et pour les calculs je n'y arrive pas. En utilisant les équivalents je trouve que : $B_{z}(O)=\frac{\mu _{0}I\theta _{M}}{2\pi R}$ .

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre ce qu'est l'enroulement hélicoidal.

Merci d'avance pour toute aide.

Posté par re : Solénoide avec enroulement hélicoidal 21-02-18 à 14:07

Bonjour
Tu as un exercice sensiblement identique avec son corrigé ici :

énoncé page 178
corrigé page 186
Suggestion : commence par étudier cet exercice puis pose des questions si tu le juges utile.

Posté par re : Solénoide avec enroulement hélicoidal 04-03-18 à 21:34

Bonsoir,
Je m'excuse de ne pas vous avoir répondu. Je vous remercie pour vos réfèrences. Malheureusement je ne possédais pas le livre et je ne l'ai toujours pas. Je laisse donc l'exercicr jusqu'à pouvoir un jour me procurer ce livre. Merci encore.

Posté par re : Solénoide avec enroulement hélicoidal 05-03-18 à 00:47

Bonsoir
Le lien que je t'ai fourni permet de consulter le livre (ou du moins les extraits en relation avec ton problème) sur le net sans avoir à l'acheter ...

Posté par re : Solénoide avec enroulement hélicoidal 05-03-18 à 12:40

Il s'agit je pense de la détermination du vecteur B à l'origine du repère. Cependant, le fait ensuite d'intégrer entre deux valeur opposées de $\theta$ revient à considérer O comme le centre du solénoïde. Je te résume les grandes lignes du calcul.

$\overrightarrow{dB}=\frac{\mu_{0}.I}{4\pi}\cdot\frac{\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{PO}}{PO^{3}}$

$\overrightarrow{PO}=-R.\overrightarrow{u_{r}}-\frac{h.\theta}{2\pi}\overrightarrow{u_{z}}\quad;\quad\overrightarrow{dl}=R.d\theta.\overrightarrow{u_{\theta}}+\frac{h}{2\pi}d\theta.\overrightarrow{u_{z}}$

$\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{PO}=R^{2}.d\theta.\overrightarrow{u_{z}}+...$ (seule la composante sur z nous intéresse...)

$PO^{3}=\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\quad;\quad d\theta=\frac{2\pi}{h}dz$

$dB_{z}=\frac{\mu_{0}.I.R^{2}}{2h}\cdot\frac{dz}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

$B_{z}=\frac{\mu_{0}.I.R^{2}}{2h}\cdot\intop_{-z_{m}}^{z_{m}}\frac{dz}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\mu_{0}.I}{2h}\cdot\left[\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right]_{-z_{m}}^{z_{m}}=\frac{\mu_{0}.I}{h}\cdot\frac{z_{m}}{\sqrt{R^{2}+z_{m}^{2}}} \\$
On peut poser : $\frac{1}{h}=n$ : nombre de spires par unité de longueur. On remarque :

$\\ \frac{z_{m}}{\sqrt{R^{2}+z_{m}^{2}}}=\cos\left(\theta_{m}\right)$

$z_{m}$ représente la demie longueur de la bobine.

$\theta_{m}$ étant l'angle , vue du centre O de la bobine, entre l'axe (O,z) et la dernière spire.

Ainsi, au point O :

$B_{z}=\mu_{0}.n.I\cdot\frac{z_{m}}{\sqrt{R^{2}+z_{m}^{2}}}=\mu_{0}.n.I.\cos\left(\theta_{m}\right)$

Bien qu'il ne s'agisse pas exactement de l'expression demandée par ton énoncé, je trouve intéressant de faire remarquer que, au centre uniquement de la bobine, l'expression de la composante axiale du vecteur B est exactement celle que l'on aurait obtenu classiquement en assimilant l'hélice à un ensemble de spires circulaires d'axe (O,z). On obtient l'expression demandée en posant :

$z_{m}=\frac{h.\theta_{m}}{2\pi}\quad;\quad B_{z}=\frac{\mu_{0}.I.\theta_{m}}{2\pi.R.\sqrt{1+\left(\frac{h.\theta_{m}}{2\pi.R}\right)^{2}}}$

Bien sûr, si la bobine devient très longue, $\cos\left(\theta_{m}\right)$ tend vers un : on retrouve l'expression de Bz créé par un solénoïde infiniment long.