(où t est en secondes et f en Hz)

Il faut effectivement donner l'expression de T en fonction du f utilisé dans p(t)

En physique, on attend sûrement la plus petite valeur strictement positive de T telle que p(t+T) = p(T)

Il te reste à la trouver.

Ok donc on a p(T)=0
De plus p(t+T)=p(t)
Un produit de facteurs est nul si un de ses facteurs est nul.
On résous par exemple
En passant par les modulos etc, je trouve à la fin t=1/(2f), ce qui est notre période.
Es ce que ça vous semble juste ?

1/(4f) plutôt excusez moi.

Pas d'accord avec ta réponse du 26-10-15 à 17:23

Disons que 1/(2f) était plus une intuition.
En résolvant je trouve
En résolvant je trouve
Avec k qui appartient à Z
Mais après...

cos(2Pi.f.t) * sin(6Pi.f.t) = 1/2.[sin(8Pi.f.t) + sin(4Pi.f.t)]

Soit T1 la période de sin(8Pi.f.t) :
(8Pi.f.t) + 2Pi = 8Pi.f.(t+T1)
8.Pi.f.T1 = 2.Pi
T1 = 1/(4f)

Soit T2 la période de sin(4Pi.f.t) :
48Pi.f.t) + 2Pi = 4Pi.f.(t+T2)
4.Pi.f.T2 = 2.Pi
T2 = 1/(2f)

PPCM(T1 , T2) = 1/(2f)

La période de p(t) est 1/(2f).

Ne pas confondre La période avec une période.
En Physique, on nomme La période, la plus petite période strictement positive.
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Cet exercice est un poil piegeant.
Si on part de la relation de départ, il faut chercher La période de cos(2Pi.f.t) * sin(6Pi.f.t)

Mais, il se faut pas chercher la période de cos(2Pi.f.t) et puis celle de sin(6Pi.f.t) et en prendre le PPCM.
Si on fait cela, on trouvera évidemment une période mais pas forcément la plus petite.

En effet, il n'est pas obligatoire qu'on ait cos(2Pi.f.t) = cos(2Pi.f.(t+T)) ET sin(6Pi.f.t) = sin(6Pi.f.(t+T))
Cette contrainte est trop forte.
On peut aussi bien avoir cos(2Pi.f.t) = - cos(2Pi.f.(t+T)) ET sin(6Pi.f.t) = - sin(6Pi.f.(t+T))

Car même ainsi, on aurait :
cos(2Pi.f.t) * sin(6Pi.f.t) =  - cos(2Pi.f.(t+T)) * (- sin(6Pi.f.(t+T)))
cos(2Pi.f.t) * sin(6Pi.f.t) =  cos(2Pi.f.(t+T)) * sin(6Pi.f.(t+T))

Il faut donc trouver T le plus petit possible qui satisfait :
soit : cos(2Pi.f.t) = cos(2Pi.f.(t+T)) ET sin(6Pi.f.t) = sin(6Pi.f.(t+T))
soit : cos(2Pi.f.t) = - cos(2Pi.f.(t+T)) ET sin(6Pi.f.t) = - sin(6Pi.f.(t+T))

Et on trouve alors T = 1/(2f)

Mais cette méthode est simplifiée si on modifie la relation produit cos(2Pi.f.t) * sin(6Pi.f.t) en une relation somme sin(8Pi.f.t) + sin(4Pi.f.t)
On peut alors faire comme montré ci-dessus et éviter le piège.

Sauf distraction.  

Re bonjour,
Merci de votre réponse très précise que j'ai comprise et qui m'a beaucoup aidé.
Mon problème sous-jacent est la démonstration de la périodicité de p(t) avant de la déterminer, je ne vois pas comment montrer que p(t) est periodique sans supposer qu'elle l'est, la trouver et vérifier que p(t)=p(t+T).
Merci beaucoup.

C'est évidemment là toute la difficulté de ce genre de problème.

Attention que vérifier que p(t) = p(t+T) n'est pas suffisant pour être sûr que T est bien la plus petite valeur strictement positive possible, c'est juste une vérification que le T trouvé est UNE période mais pas forcément La période (donc la plus petite strictement positive)