Niveau iut

série de fourier

Posté par
cosmoff 05-03-16 à 23:09

bonjour a tous,

voila j'ai un signal créneau de période $\theta$ . Je veux la décomposer en plusieurs signaux sinusoïdaux, je fais donc la série de Fourier et j obtiens plusieurs fréquences(Fn) et amplitude(An). je remarque d'ailleurs que mon amplitude diminue lorsque ma fréquence augmente.
Mais si je fais ma transformé de Fourier de mon signal créneau j'obtiens un sinus cardinal et mon amplitude diminue et augmente ( voir dessin d'un sinus cardinal ).
Je n'arrive pas a comprendre la différence entre la transformé de Fourier et la série de Fourier car sur les sites j'ai tendance a penser que c'est la meme chose alors que les résultats diffère.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : série de fourier 05-03-16 à 23:51

Bonsoir,

Non, ce n'est pas différent.
La série de Fourier tient compte du fait que le signal est périodique.
La transformée de Fourier calculée sur une période unique du signal (donc sans tenir compte de la répétition du signal) donne un sinus cardinal "plein".
Pour trouver le même résultat avec la transformée de Fourier, il faut utiliser la convolution. Mais je pense que tu ne connais pas cette opération (non étudiée à l'IUT, je crois...).

Posté par re : série de fourier 06-03-16 à 11:28

d'accord, et dans le sinus cardinal on retrouve plusieurs harmoniques et amplitudes, mais plus la largeur de mon signal carré est grand, moins j'ai de raie dans mon sinus cardinal, c'est du a quoi?

Posté par re : série de fourier 06-03-16 à 21:34

Tu veux parler du nombre de raies dans le lobe principal du sinus cardinal ?

Posté par re : série de fourier 07-03-16 à 06:58

oui

Posté par re : série de fourier 07-03-16 à 13:14

     Je peux te faire le calcul complet. Mais, pour comprendre, il faut utiliser la transformée de Fourier. Cela ne se voit pas bien sur la série de Fourier. Cela fait appel notamment au produit de convolution et  à sa transformée de Fourier. Je ne crois pas que tu aies vu ça... Donc je vais essayer de l'expliquer d'une autre façon sauf avis contraire de ta part...

     Il n'y a pas que les raies du lobe principal du sinus cardinal qui comptent. On va considérer un signal carré de période T et de créneau de durée égale à . Le spectre est composé de raies situées tous les 1/T. Selon la durée   , certaines de ces raies peuvent avoir une amplitude nulle. C'est le cas pour = T/2, par exemple, où toutes les raies d'ordre pair sont nulles.

     Le sinus cardinal est de la forme :

$\Large \frac{sin\left(\pi\,f\,\tau\right)}{\pi\,f\,\tau}$

Les zéros du sinus cardinal sont :

$\large sin\left(\pi\,f\,\tau\right)\,=\,0\,\Rightarrow\,\pi\,f\,\tau\,=\,k\,\pi\,\Rightarrow\,f\,=\,\frac{k}{\tau}$

Le cas particulier est   $k\,=\,0\,\Rightarrow\,f\,=\,0$   où le sinus cardinal est égal à 1.

Si   $\Large \tau\,=\,\frac{T}{10}$ ,   $\Large \frac{1}{\tau}\,=\,10\,\frac{1}{T}$

Donc il y aura 10 raies dans le lobe principal (en comptant la raie f=0) et la 10ème raie sera d'amplitude nulle (zéro du sinus cardinal).

Comme évoqué plus haut, si   $\Large \tau\,=\,\frac{T}{2}$ ,     $\Large \frac{1}{\tau}\,=\,2\,\frac{1}{T}$   .
Donc il y aura un zéro du sinus cardinal toutes les deux raies ( $\large f_k\,=\,k\,\frac{2}{T}$ ) . Il n'y aura que deux raies dans le lobe principal : f = 0  et  f = 1/T . Toutes les raies d'ordre pair sont nulles.
(Je ne considère pas les fréquences négatives dont on ne t'a parlé, je présume)

    Il y a tous les cas intermédiaires possibles, bien sûr. Les zéros du sinus cardinal ne tombent pas obligatoirement sur des multiples de 1/T.

Le cas extrême est = T  donc une tension continue.  Les zéros du sinus cardinal sont   $\large k\,\frac{1}{T}$ donc toutes les raies sont nulles sauf f = 0. Si   = T , on a un signal continu donc une raie en  f = 0...