Niveau maths spé

Schrondinger sphérique électron

Posté par
dtshp 27-05-19 à 16:44

Bonjour,
je bloque face à cet exercice à la première question qui est pénalisation pour la suite, je crois : on considère un électron de l'atome d'hydrogène. On se place en coordonnées sphériques $(r,\theta, z)$ à $r=r_0,z=z_0$ fixés. On cherche la fonction d'onde $\psi(\theta,t)$ sous la forme $\psi(\theta,t)=\varphi(\theta)f(t).$
1) Montrer que les solutions de $i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi-\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0r_0}\psi$ , font apparaître une quantification de l'énergie : $E_l=E_0+Kl^2$ avec $E_0,K$ des constantes à déterminer et $l\in \mathbb{Z}$ .
2) On définit le moment cinétique de l'électron $\vec{\sigma}=\sigma_z\vec{e_z}$ si $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial \theta}=\sigma_z\psi$ . Est-ce vérifié ici ? Expliquer la différence entre $\pm l$ ?
3) Faire un parallèle avec la méca classique.
4) On définit $\vec{j}=-\frac{-e\hbar}{2im}(\psi^*\vec{grad}(\psi)-\psi\vec{grad}(\psi^*))$ . Vérifier l'homogénéité.
5) Exprimer $\vec{j}$
6) On définit le moment magnétique de l'électron par $\vec{\mathcal{M}}=-\mathcal{M}_0l\vec{u_z}$ . Déterminer $\mathcal{M}_0$ en fonction de $e,\hbar,m$ .
7) ll y avait d'autres questions pour montrer la loi de Curie mais je les ai réussies!

Déjà je n'arrive pas trop à voir de liens entre les différentes questions... Ensuite dans l'équation je reconnais le potentiel lié à la force électrostatique dans le dernier terme.
1) J'ai injecté $\psi(\theta,t)=\varphi(\theta)f(t).$ dans l'équation et après calculs j'ai obtenu : $\varphi''(\theta)+(i\frac{2mr_0^2}{\hbar}\frac{f'(t)}{f(t)}+\frac{me^2r_0}{2\pi \varepsilon_0\hbar^2})\varphi(\theta)=0$ . Donc en posant $A^2$ le gros terme devant $\varphi(\theta)$ , les solutions sont de la forme $\varphi(\theta)=\alpha \cos(A\theta+\theta_0)$ . En faisant un schéma de l'électron en coordonnées sphériques, je pense que sa trajectoire est périodique donc $\varphi$ doit etre aussi $2\pi$ périodique. Donc
$\varphi(0)=\varphi(2\pi)$ donc $A\in \mathbb{Z}$ . Mais ce qui me surprend c'est que le terme A soit complexe (donc je me suis sûrement trompé quelque part) et je n'arrive pas à faire apparaitre d'énergie.
2) J'ai gardé ma solution $\varphi(\theta)=\alpha \cos(A\theta+\theta_0)$ et j'ai calculé le moment cinétique comme en classique mais je ne vois pas quoi en faire!
3) J'imagine que le terme en $Kl^2$ fera penser à une énergie potentielle connue.
4) J'ai réussi.
5) Il faudrait connaitre $\psi$ , pour l'instant j'ai que $\varphi$ est réelle... Faut-il aussi déterminer $f$ ? Car à ce moment là je pense qu'il faut reprendre ce qui a été fait en 1) et déterminer une équation différentielle vérifiée par $f$ .
6) En raisonnant comme en classique j'ai que $\vec{\mathcal{M}}=-\frac{ewr_0^2}{2}\vec{e_z}$ avec w la vitesse de rotation de l'électron mais je ne vois pas du tout comment faire apparaitre $\hbar$ !

Voilà ce que j'ai fait, j'ai l'impression d'être proche du résultat aux questions 1) et 6) mais pourtant je n'arrive pas à aboutir! Si quelqu'un a des pistes je suis preneur!
Merci et bonne soirée,
dtshp

Posté par re : Schrondinger sphérique électron 28-05-19 à 11:48

Bonjour
Je suis quelque peu réservé sur la pertinence de cet énoncé. Il s'agit d'utiliser la mécanique quantique mais on commence par ne pas respecter le principe d'incertitude de Heisenberg en fixant deux des trois coordonnées, imposant ainsi à l'électron de se déplacer sur un cercle bien défini... Enfin : il permet tout de même de se familiariser avec la notion de fonction d'onde...
Je pense qu'il faut se limiter à l'étude du régime stationnaire, ce qui te ramène simplement à résoudre :

$-\dfrac{\hbar^{2}}{2m.r_{o}^{2}}\cdot\dfrac{d^{2}\varphi}{d\theta^{2}}-\dfrac{e^{2}}{4\pi\cdot\varepsilon_{o}\cdot r_{o}}\varphi=E.\varphi$
Ensuite, comme tu l'as remarqué, il suffit de remarquer que la période est un multiple de rad.

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