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Schéma équivalent d'un transformateur

Posté par
mariemation
14-06-19 à 18:12

Bonjour

S'il vous plait je n'arrive pas à démontrer que N=k\sqrt{ \frac{L_p}{L_s}}, sachant que les deux circuit au dessous sont équivalents:

Schéma équivalent d'un transformateur

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 14-06-19 à 18:26

Bonjour
Pour le circuit de droite, le théorème de Milman te donne directement la tension complexe aux bornes de N2R. Facile d'en déduire alors ce que serait la tension aux bornes de R.
Pour le circuit de droite, k désigne bien le coefficient de couplage défini dans un message précédent tel que :

M=\pm k.\sqrt{L_{s}.L_{p}}
?
Il faut alors écrire la loi des mailles (ou la loi de Pouillet) pour le circuit primaire et pour le circuit secondaire.

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 14-06-19 à 20:02

Comment déduire la tension aux bornes de R à partir de celle aux bornes de N²R? ils ne sont pas traversées par le même courant

voilà un schéma intermédiaire:

Schéma équivalent d'un transformateur

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 14-06-19 à 20:04

oui k est le coefficient de couplage magnétique

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 14-06-19 à 20:10

Merci pour la précision. L'expression "circuits équivallents est un peu ambigue car elle peut avoir plusieurs significations différentes. S'agit-il de trouver une condition pour que la tension de sortie soit la même dans les deux cas ?
Si oui, je t'ai indiqué la méthode.

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 14-06-19 à 23:06

La réponse à la question que je pose dans mon précédent message est très probablement "oui" .  En effet : en utilisant la méthode que je t'ai indiquée,  on montre assez facilement que la tension complexe u aux bornes du secondaire du transformateur (soit aux bornes de R dans le montage de gauche) est égale à la tension complexe aux bornes de la résistance N2R du circuit de droite. Je ne vois pas trop l'intérêt de ton schéma intermédiaire (ton message du 14-06-19 à 20:02).

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 00:59

Vous avez dit dans votre message à 18:26 qu'on doit déduire la tension aux bornes de R à partie de celle aux bornes de N2R, mais pour ce faire on doit connaitre les courants passants par ces deux résistances, d'où l'intérêt du schéma intermédiaire (savoir le courant passant par N2R)

Merci pour vos réponses

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 11:42

Oublie cette phrase qui, après réflexion, peut paraître un peu ambiguë et complique les choses. Retiens mon dernier message :
on montre assez facilement que la tension complexe u aux bornes du secondaire du transformateur (soit aux bornes de R dans le montage de gauche) est égale à la tension complexe aux bornes de la résistance N2R du circuit de droite dans le cas particulier où :

N=k\sqrt{ \frac{L_p}{L_s}}
Une méthode de démonstration possible a été résumée dans mon premier message :
Pour le montage de gauche : Il faut  écrire la loi des mailles (ou la loi de Pouillet) pour le circuit primaire et pour le circuit secondaire en faisant intervenir les deux intensités complexes ip et is ; isoler is puis poser :
u=R.is
Pour le circuit de droite, le théorème de Milman donne directement u.
Il n'y a plus qu'à identifier les deux expressions de la tension u. J'ai pris la précaution de faire les calculs : il n'y a pas d'erreur dans ton énoncé !

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 14:33

Bonjour

j'ai suivi la méthode que vous avez proposé :

loi des mailles:
\left\lbrace\begin{matrix}
 \\ V=jL_pw i_p+jMwi_s\\ 
 \\ u=jL_swi_s+jMwi_p=-Ri_s
 \\ \end{matrix}\right.

d'où i_s=\frac{-\frac{MV}{jw}}{L_p(L_s+\frac{R}{jw})-M^2}

d'autre part: (Millman) u=\frac{\frac{V}{jL_p(1-k^2)w}}{\frac{1}{jL_p(1-k²)w}+\frac{1}{jk²L_pw}+\frac{1}{N²R}}

donc \frac{V}{\frac{1}{k²}+jL_pw\frac{1-k²}{N²R}}=-Ri_s=\frac{\frac{RMV}{jw}}{L_p(L_s+\frac{R}{jw})-M^2}

d'où:
V(L_p(L_s-j\frac{R}{w})-M²)=\frac{RMV}{w}(L_pw\frac{1-k²}{N²R}-j\frac{1}{k²})

en identifiant les parties réelles et imaginaires je trouve: k²=\frac{M}{L_p}
 \\ et L_s=\frac{M}{N²}  résultats qui aboutissent à la relation cherchée mais k²=\frac{M}{L_p}
 \\   est fausse car k²=\frac{M²}{L_pL_s}

est ce qu'il y a une erreur dans mon raisonnement?

Merci

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 15:44

Tu as bien travaillé ! D'accord avec tes lois des mailles et l'utilisation du théorème de Millman. Il me semble maladroit de laissez traîner des jw au dénominateur de tes expressions. De la loi des mailles, on tire :

u=\frac{\frac{RMV}{jw}}{L_{p}(L_{s}+\frac{R}{jw})-M^{2}}=\frac{R.M.V}{j\omega\left(L_{p}.L_{s}-M^{2}\right)+R.L_{p}}=\frac{R.V.k.\sqrt{L_{p}.L_{s}}}{jL_{p}.L_{s}.\omega\left(1-k^{2}\right)+R.L_{p}}=\frac{R.V.k.\sqrt{\frac{L_{p}}{L_{s}}}}{R.\frac{L_{p}}{L_{s}}+jL_{p}\omega\left(1-k^{2}\right)}

De même l'expression du théorème de Millman se simplifie :


 \\ u=\frac{R.N^{2}.V}{\frac{R.N^{2}}{k^{2}}+jL_{p}.\omega\left(1-k^{2}\right)}

Il y a bien un problème !

Pas de difficulté si on identifie les dénominateurs : on obtient bien :

\frac{L_{p}}{L_{s}}=\frac{N^{2}}{k^{2}}

mais les numérateurs sont différents : R.N.V dans un cas R.N2V dans l'autre cas !

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 15:52

Donc l'erreur est dans l'énoncé?

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 16:46

Citation :
Donc l'erreur est dans l'énoncé?

A mon avis oui !
J'ai testé ce modèle dans le cas du transformateur idéal : k=1.
Le montage de gauche conduit au résultat correct :

u=V\cdot\sqrt{\frac{L_{s}}{L_{p}}}
Le montage de droite conduit alors à u=V même avec des bobines primaire et secondaire différentes, ce qui est bien sûr faux !

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 17:45

J'ai peut-être trouvé un moyen de « sauver la mise » au concepteur de cet énoncé. On peut dire que ces deux montages sont équivalents dans la mesure où la charge consomme la même puissance moyenne dans les deux cas !

Je note D le module du dénominateur des deux expressions de u obtenues puisque ce dénominateur est le même dans les deux expressions et je note Ve la valeur efficace de la tension d'entrée. La puissance reçue par la charge R dans le montage de gauche est :

P_{1}=\frac{U_{1eff}^{2}}{R}=\frac{\left(R.V_{e}.N\right)^{2}}{D^{2}.R}

La puissance reçue par la charge N2R dans le montage de droite est :

P_{2}=\frac{U_{2eff}^{2}}{N^{2}.R}=\frac{\left(R.V_{e}.N^{2}\right)^{2}}{D^{2}.R.N^{2}}=P_{1}

Morale de tout cela : sans un énoncé précis...

Posté par
mariemation
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 19:34

je n'ai pas vraiment un énoncé précis, j'ai trouvé ces deux schéma dans une vidéo youtube, mais le résultat a été énoncé sans démonstration, et moi j'ai besoin de la démonstration.

Voici la vidéo: à 14:41 (c'est en anglais)

En tout cas je vous remercie pour votre aide, je comprends le montage mieux maintenant.

Posté par
vanoise
re : Schéma équivalent d'un transformateur 15-06-19 à 19:37

Le raisonnement semble bien porter sur la puissance... En revanche, ce genre de démonstration par schémas équivalents....

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