Bonjour Cleindorie,

Je n'ai pas beaucoup de temps mais je vais commencer à  répondre à quelques unes des tes questions et je finirai ce soir si personne ne finit d'ici là.

La projection, c'est que des maths. Prenons deux vecteurs vect(u) = a*vect(ux) + b*vect(uy) + c*vect(uz) et vect(v) = a'*vect(ux) + b'*vect(uy) + c'*vect(uz).

Si vect(u) = vect(v), tu peux dire :

* En projetant sur ux que a=a'
* En projetant sur uy que b=b'
* En projetant sur uz que c=c'

Dans le cas du pendule, tu projettes la relation du TMC suivant uz dans le base cylindrique et non l'accélération !! Comprends tu jusque là ?

Je te laisse méditer dessus pour le moment et on reprend ce soir si personne ne l'a fait d'ici là.
Bonne journée.

Bon alors je suis dans le train c'est un peu galère mais je devrais y arriver.
J'ai compris ce que tu m'as expliqué en fait vu qu'ils ont le moment et que le moment cinétique est la dérivée du moment ils projettent sans soucis sur ez, en fait je croyais qu'à partir du moment cinétique ils arrivaient à projeter sur ez mais sans utiliser la relation du moment.
Par contre en revenant dessus je fais une erreur sur le calcul du moment:
Mo= l.er^m.g. e (désolée je ne fais pas les vecteurs en gras c'est trop galère avec le téléphone dans le train)
et e=-gsin c'est ça?
Mais je garde aussi mon vecteur e ce qui me donne Mo= ml. er^-gsin.e=-mlgsin.ez? Je ne suis pas sûre à cause de e ça me parait bizarre de le remplacer par sa valeur et de le garder aussi en vecteur. Sinon j'ai compris je vais essayer de recommencer mon exo mais c'est trop galère dans le train.

Bonsoir Cleindorie,

Je vais te détailler l'exo du pendule car il est clair que tu n'as pas compris (à ta façon d'expliquer).
Ce que tu dois absolument savoir, c'est que le TMC est un corolaire du PFD. En conséquence, tu ne peux l'appliquer que si tu es dans un ref Galiléen.

On considère le système du pendule simple de masse m et de longueur l.
Ici, on se place dans le référentiel terrestre supposé Galiléen.
On prend le repère polaire d'origine le point d'ancrage du fil.
Bilan des forces :

* Le poids
* Le réaction du fil.

Le moment cinétique en O, vect(L)= l*vect(ur)^vect(p) où p est la quantité de mouvement.
Or, vect(p) = m*vect(v) = ml*d/dt*vect(u)
Donc, vect(L) = ml²*d/dt*vect(ur)^vect(u) = ml²d/dt*vect(uz).

Le moment du pendule vaut : M = l*vect(ur)^vect(F) où vect(F) est la résultante des forces s'appliquant au pendule. C'est-à-dire, vect(F) = vect(P) + vect(T). En t'aidant du dessin de wikipédia, tu peux voir que vect(F) est la composante orthoradiale du poids car la composante radiale est compensée par la tension du fil. Donc, vect(F) = -mg*sin()*vect(u). Donc, M = -mgl*sin()*vect(uz).

Vu que l'on est dans un référentiel suposé Galiléen, on peut écrire le TMC au pendule.

D'après le théorème du moment cinétique, dvect(L)/dt = M.

d[ml²d/dt*vect(uz)]/dt = -mgl*sin()*vect(uz)
ld²/dt²*vect(uz) = -g*sin()*vect(uz) (car le vecteur uz n'est pas fonction du temps)

En projetant suivant uz, on a : d²/dt² g/l*sin() = 0 (l'équation du pendule).

Voilou. Est-ce plus clair ?

Oui! Merci c'est ce que j'avais compris en ré étudiant tout ça dans le train mais pas de réseau j'ai pas pu te dire que c'était bon. Je t'ecrirai dans la soirée pour te montrer ce que je pense pour mon exo mais comme jnarriv tard tu verras ça demain je pense, merci boltzmann.

Si tu as compris, c'est l'essentiel. Tu verras, l'exo du satellite est du même acabit.
Je t'en prie. Passe une bonne soirée et à demain.

Bonsoir Boltzmann,

bon aller, je m'y mets:

D'après le TMC on a : L=r^mv Soit en passant en coordonnées cylindriques:
L=r.er^mr(d/dt)e=mr²(d/dt)ez
On en conclut que L est bien porté par l'axe Oz.
Je pense que cela suffit pour la première question, je ne vois pas l'intérêt de calculer le moment comme pour le pendule car on me demande seulement de montrer que L est suivant Oz.

Après pour la deuxième question: déterminer v0 en fonction de r0 sachant que r0 est le rayon de l'orbite de M avec une vitesse v0 à l'instant initial t=10. Puis d'en déduire la valeur de L à l'instant initial.
Donc comme on se situe dans un référentiel galiléen (j'ai oublié de le dire pour le TMC) j'applique la deuxième loi ne Newton:Fext=ma
Les forces s'appliquant sur notre satellite étant le poids et les forces de frottements on a :
mg-kv=ma d'où l'équation différentielle suivante: g=(dv/dt)+(k/m)v
Que je peux aussi exprimer en fonction de r puisque v=dr/dt
Et une fois que je suis là je dois projeter mes vecteurs mais sur quelle base? le plus logique selon moi serait de le faire en cylindrique comme ça g est sur ermais comment déterminer v et sa dérivée?  En remplaçant v par dr/dt, non ? d'où j'aurai g.er=(d²r/dt).er-(k/m)(dr/dt).er
Le soucis c'est que comme je ne connais pas les valeurs de k et m, à première vue cela à l'air assez compliqué. Je l'ai fait de mémoire dans le train je n'avais pas le sujet à côté de moi et j'ai trouvé sans second membre r(t)=Ae^(-1-k/m)t+Be^-t
Par contre je n'ai pas le courage à cette heure là de vérifier si je ne me suis pas trompée et faire la solution avec le second membre qui m'a posé problème parce qu'en fait j'ai g qui est une constante, non?
Et vu les conditions initiales que j'ai, soit t=10 je ne vois pas trop comment trouvé A et B.
Je regarderai cela de plus près demain mais si tu pouvais juste me dire déjà si je ne me suis pas trompée pour la première question et si je suis sur la bonne piste pour la suite. Merci.
A demain!

Bonsoir,

Je regarderai demain. J'ai plus la motive pour ce soir.
@demain .

Bonjour Cleindorie,

Tout est faux quasiment car tu n'as pas fait l'exo rigoureusement. En effet, on te demande d'exprimer le TMC ici, c'est pas pour rien.
Donc, fais le proprement (et petit indice, tu n'as pas un référentiel Galiléen ici).

Aussi, poste ton sujet proprement et en entier, c'est pénible de chercher les questions entre les différents posts.

Bonjour Boltzmann,

Bon c'est bien ce que je pensais la solution de mon équation différentielle est fausse. En fait j'ai essayé de résoudre (dv/dt)+(k/m)v=g
Solution sans second membre v(t)=Ce^-k/m)t avec C une constante réelle
Par la méthode de variation de la constante et en posant X=k/m on a dv/dt=C'(t)e^-Xt-XC(t)e^-Xt
D'où C'(t)e^-Xt=g donc C'(t)=ge^(k/m)t, étant donné que g est une constante on trouve C(t)=(gm/k)e^Xt+K avec K une constante.
Le problème c'est qu'avec les conditions initiales je trouve finalement v(t)=v₀
Alors en soit que la vitesse du satellite soit constante ça ne me choque pas mais je ne suis pas du tout sûre que cela soit correct parce qu'après pour trouver r₀, il faut intégrer v(t), d'où:
r(t)=v₀t+K
r(10)=10v₀+K
K=r₀-10v₀
Donc r(t)=r₀...
Voilà pourquoi je pense que je me trompe complètement!En plus je ne réponds pas à la question puisque je n'exprime pas v₀ en fonction de r₀... là je ne sais plus quoi faire.

Comme je te l'ai demandé, fais moi la première question correctement. Sans ça, tu n'arriveras pas à faire la deuxième (qui ne demande pas de résoudre d'équation différentielle).

Et aussi, poste moi ton sujet en entier

Je croyais qu'elle était bien la première question...
Bon alors je te poste le sujet et je t'écris ce que j'ai refais pour la première question:
On considère un satellite de la Terre décrivant une orbite circulaire dans les couches denses de l'atmosphère est soumis à une force de frottement de la forme f= -k
1) En exprimant le TMC dans ce cas montrer que le moment cinétique L est porté par l'axe Oz.
2) On considère qu'à l'instant initial t=10, le satellite est sur une orbite de rayon r₀ avec une vitesse v₀ en fonction de r₀; en déduire la valeur de L₀ à l'instant initial.
3) Déterminer la loi de variation de L en fonction du temps.
4) En déduire la loi de variation de r en fonction du temps. On supposera qu'à chaque instant le satellite est sur une orbite circulaire.

Donc d'après le TMC, L=mr²(d/dt)ez
Et le moment M₀ en M (en posant M le satellite situé à une distance r de la Terre que l'on considère comme origine du repère)
M₀=r.er^(mg.er- kr(d/dt).e
M₀= -kr²(d/dt).ez
Donc dL/dt=mr²(d²/dt)ez
D'où par projection sur ez :
mr²(d²/dt)= -kr²(d/dt)
Donc -kd/dt=md²/dt
Voilà, je ne sais pas ce que ça peut me donner mais bon c'est tout ce que j'ai trouvé.

Bonjour,

Je trouve ton sujet bizarrement posé. Si le mouvement est circulaire, r est constant. Enfin, quoi qu'il en soit, on peut traiter au moins les deux premières questions. Le souci restant que physiquement, le mouvement ne peut être circulaire à cause des frottements fluides (sinon, il faut un moteur qui compensent les frottements).

Pour le 1, non, tu ne peux pas utiliser le TMC sans avoir posé de référentiel ni de repère (regarde ma rédaction). Sans ça, ton L n'a aucun sens. De plus, tu oublies la force d'inertie d'entrainement (celle qui permet aux satellites ne ne pas s'écraser sur terre de suite), si le mouvement est circulaire. Même si cette force disparait quand on fait le produit scalaire.

Je repasse que ce soir. Il faut que je révise mon CAPES. J'en profiterai pour réfléchir à la suite.
A ce soir

Je me relance...

Nous sommes dans un référentiel géocentrique que l'on suppose galiléen, on prend le repère polaire avec pour origine le centre de la Terre, donc le moment cinétique L du satellite situé à une distance noté r de la Terre est:
L=r^mv
L=rer^(er.mdr/dt+mre.d/dt)
L=mr²(d/dt)ez

Je ne vois pas comment être plus rigoureuse pour cette question.

Comme notre référentiel est supposé galiléen nous pouvons appliquer la deuxième loi de Newton au satellite:
ma=p+f avec p=(-GMm/r²).er  
f= -k(er.dr/dt+r.ed/dt)
G=cste gravitationnelle
M=masse de la Terre
m=masse du satellite
De plus le mouvement est circulaire donc la dérivée et la dérivée seconde de r sont égales à 0, d'où l'expression suivante du vecteur accélération: a=m(-er.rd/dt+erd²/dt)

Je ne vois pas comment introduire la force d'inertie je pensais que le satellite était soumis seulement aux frottements et à l'attraction terrestre. Avec mon équation si je projette sur chacun des axes er et e je trouve :
GM/r²=rd/dt
-kd/dt=md²/dt

Si j'avais eu sur e la dérivée seconde de égale à zéro j'aurais pu remplacer la dérivée de par v₀/r₀ puisque la vitesse aurait été constante mais là je ne vois pas ce que je dois faire.
Désolée de t'embêter alors que tu révise le CAPES.

L'énoncé est évidemment "physiquement" bancal... ou du moins, il contient quelques mots malheureux.

Le mouvement du satellite ne peut pas être strictement circulaire puisqu'il y a perte d'énergie par frottement. Le rayon du "faux cercle" va diminuer au cours du temps ... jusqu'au crash.

En gros (pas en suivant les indications confuses de l'énoncé).

La composante de vitesse "tangentielle" VT(t) à la trajectoire du satellite est modifiée par la force de frottement :

f = -k.VT = m.dVT/dt

VT(t) = Vo.e^((-k/m).t) avec Vo la vitesse tangentielle en t = 0.

La force centrifuge agissant sur le satellite est : FC(t) = m.VT²/r(t) = [m.Vo².e^((-2k/m).t)]/r(t)

La force d'attraction de la Terre sur le satellite est : Fa(t) = GmM/(r(t))²

La résultante des forces sur le satellite dans la direction de r (sens satellite --> Tere) est donc: F = GmM/(r(t))² - [m.Vo².e^((-2k/m).t)]/r(t)

Et donc: GmM/r² - [m.Vo².e^((-2k/m).t)]/r = -m.d²r/dt²

On a l'équation différentielle suivante :

d²r/dt² = (Vo²/r).e^((-2k/m).t) - GM/r²

Avec r(t) la distance satellite à centre de la Terre en fonction du temps, G la constante de gravitation, m la masse du satellite, M la mase de la Terre et Vo la vitesse du satellite en t = 0.
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Je n'ai rien vérifié et ce n'est pas fait suivant les demandes de l'énoncé.

Bonjour à tous les deux,

Bon, je suis d'accord avec J-P pour la correction d'énoncé si ce n'est que j'aurai surement fait un DL de l'interaction gravitationnelle. Sache que tu ne me déranges pas mais ton exo m'a laissé suffisamment perplexe pour ne pas répondre hier soir.

Mais on peut faire les deux premières questions en dépits de l'énoncé malheureux.

1) On se place dans le référentiel géocentrique, repéré par des coordonnées cylindriques dans le plan du mouvement; qui n'est pas Galiléen (tu as une force d'entrainement, ie, la force centrifuge).

Bilan des forces :

* L'interaction gravitationnelle
* Le frottement fluide en v
* La force d'entrainement

Donc, on peut appliquer le TMC,

dvect(L)/dt = r*vect(ur)^(-G*m*mT/r²*vect(ur) - k*(v*vect(u)+vr*vect(ur)) + m*(d/dt)²*r*vect(ur)) = -krv*vect(uz)

Et comme le vecteur uz est constant, on a montré que L est bien suivant vect(uz).

2) J'aurai tendance à donner Lo = ro*vect(ur)^(m*v*vect(u)) = m*ro*v*vect(uz).

En supposant le mouvement circulaire, on aurait  v = vo. Mais cette hypothèse n'a aucun sens.

3) Après, vu que r et vo bougent, ça me semble difficile à intégrer. Il y a vraiment un truc qui est bizarre.

Enfin, pourrais tu poster la correction quand tu l'auras (t'es du CNED, j'imagine ?)

Merci J-P j'ai juste quelques questions :
Je comprends que l'accélération tangentielle est la dérivée de la vitesse tangentielle engendrée par la force de frottement f, mais qu'est ce qui te donne le droit de poser que f=ma? Je suppose que c'est logique mais avant de dire une bêtise je préfère que tu me précises ta pensée.
Après selon mon énoncé l'instant initial est t=10 j'ai donc
v(10)=v₀=Ce^-10k/m
Donc C=v₀e^(10k/m)
J'obtient donc v(t)=v₀e^k/m(10-t)
Mais si j'integre pour exprimer v en fonction de r je tombe sur r₀=r₀...
Ce qui est absurde c'est que comme le mouvement est circulaire r est constant et donc la dérivée de r vaut 0! J'en ai un petit peu marre de cet exo ça fait plus de deux jours que je suis dessus et je n'avance pas c'est frustrant à la fin.

Bonjour Boltzmann,

Je suis à la revue d'études je devrais recevoir la correction d'ici deux semaines je la posterai.
Merci pour vos explications.

Je sens que je vais poser une question bête mais c'est quoi la revue d'études ? je ne connais pas.

Sinon, pas de quoi (enfin, j'ai pas trop aidé pour le coup), mais comme J-P, j'aurai plutôt tendance à le faire avec le PFD ton exo et sans condition circulaire. Mais j'ai préféré rester près du sujet.

Cela dit, je pense que tu ferais mieux de maitriser l'exo pour le PFD.

Non ce n'est pas une question bête moi non plus je e connaissais pas avant. C'est un organisme qui propose des formations à distance pour les concours ouverts aux fonctionnaires. Les cours en anglais et en français sont bien fait, pour les maths ils fournissent des livres de licences très bien expliqués même si parfois je ne comprends les corrections mais en physique je trouve les cours incomplets et il n'y a pas assez d'exercices d'application bien expliqué par exemple j'avais un exercice sur le moment d'inertie d'un disque (pas de cours sur le moment d'inertie e le centre de masse) et dans la correction ils me pondent: la symétrie est cylindrique on prend donc I= _m.³ddphidz
Quand t'as pas le cours pas facile de comprendre heureusement il y a internet!
Voilà à bientôt.

Je voudrais préciser aussi que quand tu écris aux prof en renvoyant tes copies ils répondent en expliquant vraiment bien du coup à part pour la physique je suis plutôt contente de la formation.

Bonsoir,

Je reviens sur cet exercice (ça fait deux heures que je suis dessus), je  me demandais si nous n'avions pas fait fausse route.
En fait je pense que si je ne traite pas l'exercice comme si nous étions dans un référentiel géocentrique supposé galiléen il est impossible. Si on étudie le satellite comme les satellites artificiels on peut le faire, et en enlevant la force centrifuge on obtient une équation plus simple. Le problème reste que le mouvement est décrit comme circulaire, dans ce cas nous ne devrions pas avoir de forces de frottement et notre vitesse devrait être constante. Il est vraiment bizarre cet exo.

Bonsoir,

Je viens de refaire certaines questions je mets ce que j'ai trouvé:

Je ne reviens pas sur la première question, je passe directement à l'expression de v₀ en fonction de r₀:

Notre référentiel est géocentrique non galiléen or sur un temps très court il est approximativement galiléen. On se place dans cette configuration d'où
-GMm/r²=mv²/r
à t=10 v=v₀ et r=r₀, donc v₀=GM/r₀
On a l'expression de L₀ suivante: L₀=mr₀v₀=mr₀GM/r₀.

Pour déterminer la loi de variation de L pour l'instant je ne sais pas.

Pour déterminer la loi de variation de r sur une orbite circulaire on utilise la troisième loi de Kepler : cste=T²/r³
r est constant car r³=T²GM/4²
De toute façon vu que l'orbite est circulaire r ne peut pas varier.
Voilà.
Bonne soirée

Ta question 4 :

"En déduire la loi de variation de r en fonction du temps."

Montre bien que r varie avec le temps, est cela ne peut en être autrement à cause des frottements.

La remarque en appendice de la question 4, soit "On supposera qu'à chaque instant le satellite est sur une orbite circulaire" est là pour faciliter le calcul... Mais pas pour aboutir à r = constante en conclusion.

Autrement que comme demandé, j'étais arrivé (aux erreur près) à :
d²r/dt² = (Vo²/r).e^((-2k/m).t) - GM/r²

r est la distance entre le centre de la Terre et le satellite, comme le satellite est à faible altitude, soit par exemple à l'altitude h à l'instant t, on a donc r = Rt + h (avec Rt le rayon de la Terre et Rt > > > h)

r varie donc entre Rt + ho et Rt (au moment du crash sur Terre)
Mais comme ho < < < Rt en première approximation , on pourra considérer que Vo²/r et GM/r² ne varient pas beaucoup.

On devrait avoir Vo²/ro = GM/ro² = 9,8 m/s² environ (puisque orbite basse).
et en première et bonne approximation on aura :

d²r/dt² = (Vo²/r).e^((-2k/m).t) - GM/r²
d²r/dt² = 9,8 e^((-2k/m).t) - 9,8
d²r/dt² = -9,8.(1 - e^((-2k/m).t))

dr/dt = -9,8t - 9,8 * (m/(2k)).e^((-2k/m).t) + C1

r(t) = -9,8t²/2 + 9,8 * (m/(2k))².e^((-2k/m).t) + C1t + C2

r(0) = ro
ro = 9,8 * (m/(2k))² + C2
C2 = ro - 9,8 * (m/(2k))²

et si (dr/dt)(0) = presque 0
0 = - 9,8 * (m/(2k)) + C1
C1 = 9,8 * (m/(2k))

r(t) = -9,8t²/2 + 9,8 * (m/(2k))².e^((-2k/m).t) + 9,8 * (m/(2k)).t + ro - 9,8 * (m/(2k))²

r(t) = ro - 9,8.[t²/2 - (m/(2k)).t + (m/(2k)))².(1 - e^((-2k/m).t))]

valable depuis t = 0 jusqu'au moment du crash (donc pour r(t) = Rt)
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Ceci n'est qu'une approximation et pas de la manière demandée... et sauf erreur.

Merci JP,

Je devrais recevoir la correction complète de l'exercice dans la semaine ou lundi vu qu'il y a le 14 juillet. Je la posterai sur le forum.
A bientôt!

Bonjour tous les trois,

a mon tour de proposer une solution. Pendant que je tapais ce post, JP a place une reponse que je n'ai pas eu le temps de lire, je vais le  faire apres. Il est donc possible que ma solution vous paraisse simpliste, sinon erronee... n'hesitez pas a me le dire.
Je pense aussi que l'enonce est mal redige car cette distance r qui varie "un peu mais pas trop" est perturbante. Moi j'interprete la phrase "trajectoire circulaire a chaque instant" par "a chaque instant on supposera que le vecteur OM(t) est perpendiculaire au vecteur vitesse v(t)".

1)vect.L = mr²(d/dt).vect.e_z = m.r(t).v(t).vect.e_z avec la remarque ci-dessus, cette 2ieme expression etant plus pratique que la 1ere. Pas besoin du TMC pour montrer que vect.L est porte par OZ : il suffit de savoir que la trajectoire est plane et que L est a ce plan.

2)

desole, j'ai un ordi farceur qui te temps a autre envoie mes posts avant qu'ils ne soient termines... voici la suite de mon message :

2)   Le TMC va consister a egaler deux vecteurs portes par OZ ; donc on peut oublier le caractere vectoriel de L, dL/dt et du moment de la force de frottement, et se contenter de travailler avec leurs normes.
A t = 0 (je ne vois pas pourquoi 10), on ecrit donc L₀ = m.r₀.v₀. La relation liant v_v a r₀ esxt facile a etablir, Clein l'a deja trouvee : c'est v₀ = (G.M.r₀) ; ce qui donne L₀ = m.(GM).r₀.

3) A un instant t quelconque : L(t) = m.v(t).r(t) et le TMC donne dL/dt = -k.v(t).r(t) (c'est le moment de la force de frottement) donc = -k.L(t)/m.
La solution de cette equadiff est l(t) = L₀.exp(-kt/m).

4)

desole, meme gag... je reprends a la question 4 :

4)  Avec L(t) = m.(GM).r(t) (ceci vient du 2 a l'instant initial, qu'on suppose encore vrai a l'instant t ; cela suppose qu'a l'instant t la trajectoire, encore localement circulaire, donne v(t) = GM/r(t)) : Attention il y a une erreur de frappe dans ma reponse 2 (remonter d'un post) : il faut lire v₀ = (GM/r₀).), avec cette expression de L(t) donc, on peut deduire celle de r(t) : on obtient r(t) = r₀.exp(-2kt/m).

Je ne crois pas qu'il faille chercher plus complique. De plus ma solution montre bien que v(t) augmente avec le temps : en effet, v(t) = L(t)/(mr(t)), soit v(t) = v₀.exp(+kt/m). C'est un paradoxe, car le satellite soumis a des frottements voit sa vitesse augmenter ! On explique ca traditionnellement en montrant que la courbure de la trajevtoire liee a la diminution de la distance r provoque l'apparition d'une acceleration tangentielle (celle-ci est, a la masse m pres, la projection de la force d'attraction universelle F portee de M vers O). C'est cette a_T qui fait que v(t) augmente (cf schema ci-dessous).

N'hesitez pas a critiquer cette proposition de solution, si elle vous semble contenir des failles.

Prbebo.

erratum a mon post ci-dessus : par "force d'attraction universelle", il faut comprendre "force d'attraction gravitationnelle". Je crois que j'ai besoin de vacances... B.B.

Merci à tous pour vos réponses, je pense que Prbebo a raison je posterai la correction quand je l'aurais.
Bonne soirée,

Cleindorie

Bonjour à tous,

Désolé d'avoir abandonné le post mais entre mes concours et mon angine du moment, j'ai pas eu le courage de m'y replonger.
Je lierai la correction avec intérêt.

Bonne chance pour tes concours, Boltzmann_Solver !

Bernard.

C'est fini. J'ai obtenu le CAPES de physique-chimie mais j'ai raté l'agreg de chimie et le capes de maths. Le dernier de peu, il me manquait 5 points à l'admission mais je me suis pris un 1 à l'épreuve de dossier. J'imagine qu'il y a un truc que je n'ai pas saisi dans cette épreuve. Mais bon, avec le nombre de d'admis cette année, ils n'ont pas transigé sur le niveau, je pense. Donc, ça aide à ne pas se sentir mal.

Merci quand même.

Bonjour,

Félicitations Boltzmann pour le capes!
Je suis désolée mais je ne pourrais pas poster la correction la semaine prochaine, mais je le ferais dès que possible. Il faudra attendre encore un peu! Que de suspens!
A bientôt,

Cleindorie

Bonjour Cleindorie,

Merci .

J'ai survolé les corrections mais je n'ai pas été convaincu par les solutions proposées. De toutes manières, je potasserai ça bientôt (sûrement vendredi en allant à la BU). Et bientôt la correction :p

Bonsoir à tous !

Enfin la correction tant attendue est entre mes mains!
Comme le disait Prbebo il ne fallait pas chercher trop compliqué, je vous poste la correction sans plus attendre.

Enoncé : On considère un satellite de la terre décrivant une orbite circulaire dans les couches denses de l'atmosphère, où il est soumis à une force de frottement de la forme -kv.

1) En exprimant le TMC montrer que L est suivant Oz.
Bilan des forces: la force gravitationnelle suivant ur et la force de frottement suivantur et u (en négatif, soit -kv)
Le reste nous l'avions trouvé pas de problème, mais je n'ai pas de référentiel précisé, pire c'est le cas dans toute la correction! à aucun moment il n'y a de référentiel d'étude précisé, vous allez voir...

2) On considère qu'à l'instant initial t=10, le satellite est sur une orbite de rayon r0 avec une vitesse v0. Déterminer v0 en fonction de r0 et en déduire Lo.

Le principe fondamental projeté sur un donne : mv0²/r0=GMm/r0²  d'où v0=(GM/r0)
Donc Lo=mv0r0=mGMr0
(C'est exactement ce qu'il y a d'écrit, toujours pas de référentiel...)

3) Déterminer la loi de variation de L en fonction du temps.

Le TMC s'écrit: dL/dt= -kL/m
En projetant sur Oz : dL/dt= -kL/m donc dL/L= -(k/m)dt
d'où L=Loe^(k/m)t

4) En déduire la loi de variation de r en fonction du temps on supposera qu'à chaque instant le satellite est sur une orbite circulaire.

On connait L et Lo donc on en déduit que r/r0=L²/Lo²
donc r=r0e^(-2k/m)t
Par suite des forces de frottements, le rayon de l'orbite diminue exponentiellement en fonction du temps.

Voilà! Je suis un petit peu sidérée qu'il n'y ait aucun référentiel, je vous laisse juge de tout cela, en tout cas merci pour votre aide qui m'a été très précieuse, à bientôt sur le forum !

Cleindorie

Bonjour Cleindorie,

Tu peux l'être ! Utiliser le TMC sans énoncer le référentiel est une faute physique grave. Jusqu'à nouvel ordre, tout référentiel n'est pas Galiléen (Sur mes futurs copies, quelqu'un qui utilisera le PFD sans me dire que le ref est Galiléen aura la moitié des points pour te donner une idée).

Je lierai ta correction ce week-end, j'ai pas mal de chose à préparer (déménagement à Paris oblige...)

Bonsoir à tous et à toi-te,

Voici donc éclairci le mystère du satellite freiné. Il y a une petite faute de frappe dans le corrigé donné par Cleindorie (le moment cinétique varie comme exp(-kt/m) et non +), mais vous aurez facilement rectifié.

Ce que je m'explique mal, c'est votre obstination à vouloir à tout prix définir un référentiel avant d'attaquer l'exercice. Bien sûr que pour appliquer le TMC il faut un référentiel galiléen, mais pourquoi dans cet exercice vouloir en choisir un, alors qu'il y en a une infinité pouvant convenir ? Rappelez-vous la marche à suivre couramment employée pour étudier le mouvement d'un corps soumis à une force centrale : après avoir établi que le moment cinétique est un vecteur constant, on montre que la trajectoire est plane, son plan étant normal à la direction de L (donc un plan fixe). On choisit alors les coordonnées polaires de M, r et θ, puis, grâce aux deux invariants (l'énergie mécanique et la norme de L) et éventuellement aux formules de Binet, on trouve l'équation de la trajectoire etc… vous connaissez ça aussi bien que moi.
Mais dans le passage aux coordonnées polaires, sauf pour quelques exercices où les conditions initiales sont imposées, on ne précise jamais à partir de quel axe de référence l'angle θ est mesuré. En effet, si on appelle Oz l'axe qui porte L, n'importe quel couple d'axes (Ox, Oy) pris dans le plan de la trajectoire constitue avec Oz un référentiel galiléen.
Dans cet exercice il ne s'agit pas d'un mouvement à forces centrales, en raison de la force de  frottement, mais celle-ci, étant colinéaire à v, reste contenue dans le plan précédent et donc ne modifie pas son orientation. Puisqu'on a de nouveau une trajectoire plane, mon explication ci-dessus concernant les axes Ox et Oy tient toujours.

Je vous propose ci-dessous une autre approche de cet exercice, qui utilise l'énergie. Comme malgré le changement de version Latex les vecteurs continuent à etre mal alignés, et que les lettres en gras ne sautent pas aux yeux, je vais signaler les vecteurs par "vect.x" et les produits scalaires par "prodscal.xx".

L'énergie mécanique est Em = Ec + Ep, avec Ec = mv²/2 et Ep l'énergie potentielle associée à la force gravitationnelle, soit Ep = -GMm/r. Cleindorie, pourquoi n'incorpore-t-on pas la force de frottement dans Ep ? Tout simplement parce que une force en -kv n'est pas une force conservative, puisqu'elle dépend de la vitesse de M et non de sa position ; donc elle ne dérive pas d'une énergie potentielle.
En supposant que la trajectoire est circulaire de rayon r (c'est ici qu'on retrouve cette hypothèse mal expliquée dans l'énoncé), on montre facilement (déjà fait plus haut) que v² = Gm/r, ce qui donne Em = -GMm/(2r). Négative car j'ai pris l'origine de Ep pour r infini.

Cette énergie n'est pas constante : elle diminue au cours du temps, et cette diminution est due au travail résistant W de la force de frottement. On peut donc écrire, sur un petit laps de temps dt, dEm = dW, dW étant négatif, ou encore dEm/dt = dW/dt.

Evaluons d'une manière générale le travail d'une force vect.F agissant sur le point M : pendant le court instant dt, M se déplace sur sa trajectoire du vecteur élémentaire vect.dl = vect.v.dt, et le travail de vect.F correspondant à ce déplacement est dW = prodscal.F.dl = prodscal.F.v.dt, ce qui conduit à dW/dt = prodscal.F.v.
Dans cet exercice, avec l'expression de vect.F on obtient dW/dt = -k.v² = -k.GM/r.

Le reste n'est plus que du bête calcul :
dEm/dt = d(-GMm/2r) / dt = dW/dt = -k.GM/r  est équivalent à d(1/r)/dt = 2/(τ.r), en posant τ = m/k.
Ou encore, (-1/r²).dr/dt = 2/(τ.r), qui fournit l'équation différentielle sur r : dr/dt = -2r/τ, dont la solution est bien sûr r(t) = r₀.exp(-2t/τ).

Fin de l'histoire…

B.B.

prbebo

Oui mais ce n'est pas parce qu'une infinité de référentiels peut convenir qu'on peut se passer de préciser lequel on utilise pour décrire les phénomènes.

Exemple: tu écris "En supposant que la trajectoire est circulaire de rayon r"
Bien mais la "forme" d'une trajectoire dépend du référentiel utilisé pour la décrire.

Exemple:
Un satellite géostationnaire a une trajectoire circulaire dans un référentiel géocentrique, mais une trajectoire réduite en 1 point dans un référentiel terrestre et une courbe plus "sophistiquée" dans un référentiel héliocentrique et ...
Bref : "une trajectoire circulaire" ne veut strictement rien dire si on ne précise pas le référentiel utilisé pour l'observer (ou la décrire)

Pareil pour l'énergie, exemple l'énergie cinétique Ec = 1/2 mv² ne signifie rien du tout si on n'a pas précisé le référentiel utilisé.
Exemple bourrin : un bonhomme de masse 80 kg dans un train circulant à une vitesse par rapport au sol de la Terre de 35 m/s, a une énergie cinétique de 1/2 * 80 * 35² = 49000 J dans un référentiel terrestre mais a une énergie cinétique nulle dans un référentiel lié au train...  

Et c'est du même tonneau pour presque toutes les grandeurs physiques où interviennent des déplacements ou des énergies cinétique ou potentielle de pesanteur ou ...
Leurs valeurs (vitesse, accélération , énergie ... ) ou forme (trajectoire) dépendent du référentiel d'étude choisi.

Voila pourquoi, je pense, Boltzmann_Solver insiste tant sur la nécessité de préciser le référentiel ... Il a raison.

C'est exactement ça J-P. Nombre de fois, j'ai eu l'horreur de voir des élèves utilisés des relations des réfs Galiléen en lieu et place de référentiels tournants. Donc, je suis inflexible avec les élèves dessus dans le sens où je ne leur laisse pas le bénéfice du doute sur un possible oubli.

Désolé pour l'attente mais je suis en pleine misère de la recherche de logements parisiens abordables.

Bonsoir a tous,

je sais que j'ai un certain retard mais, avant de reprendre qqes jours de  vacances, je voudrais revenir sur mon message du 03/08, dont le debut me semble-t-il a ete mal interprete : il n'a jamais ete question pour moi de dire qu'en toutes circonstances on peut se dispenser de preciser le referentiel d'etude, et que donc Boltzmann-Solver (BS) avait tort d'insister sur la necessite de ce choix. J'ai simplement souligne que dans cet exercice ce choix etait secondaire (a condition, bien sur, de ne pas le faire n'importe comment).
J'aurai prefere de loin que ce post soit efface du forum, afin d'eviter que le debut de mon post soit mal compris par les lecteurs du forum et les induise en erreur. Le message en ce sens que j'ai adresse a JP et a BS etant reste sans reponse, j'ajoute donc a la suite de leurs posts ces quelques lignes destinees a corriger le sens de mon propos : dans un exercice de mecanique il vaut mieux en toutes circonstances preciser le referentiel d'etudes, meme quand ce n'est pas indispensable, plutot que de ne jamais le faire et d'en subir tot ou tard des desagrements. Dans le corrige recu par Cleindorie, une petite phrase concernant ce referentiel nous aurait permis a tous d'economiser beaucoup de temps.

Cordialement,  B.B.