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Ressort vertical
Bonjour à tous, pouvez-vous m'aider? Voici l'enonce:
Une masse ponctuelle m est attachée à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0, lui même fixé par son extremite superieure à un support fixe dans le referentiel terrestre , suppose galileen. La position du point M est repérée par la distance z au support, le long de la verticale descendante.
1) Montrer que la position d'equilibre du point M est zeq= l0+(m
g)/k
2)Determiner l'equation vectorielle du mouvement de M. En deduire l'equation differentielle verifiee par z. Quelle equation reconnait-on?
3) Quelle est la pulsation w des oscillations?
4)Resoudre cette equation et donner l'expression de z(t) en fonction de z0,zeq,w et t.
( On a un axe acsendant z)
Pour la 1) j'ai fait:
A l'equilibre: v(vecteur)=0(vecteur) a(vecteur)=0(vecteur)
PFD: ma=P+Fr
0=mg-k(zeq-l0) donc on retrouve bien la formule.
Mais pour le 2) je ne vois pas comment faire, je crois que je ne maitrise pas bien la notion d'equilibre, sinon le reste je suis capable de faire. Pour la 3) ce sera surement on pose w= qqch et c'est une equation harmonique et la resoudre n'est pas un probleme...
Merci de votre aide!
Bonjour,
1) Ok.
2) Tu appliques la 2ème loi de Newton donc tu as simplement ton 0 qui est remplacé par le produit de la masse m et de son accélération.
Tu auras une accélération suivant seulement un axe (z) comme tu l'as déjà remarqué et tu intègres par rapport au temps cette équation pour avoir la vitesse de M et encore une fois pour obtenir la position de M. Tu retrouveras l'équation d'un oscillateur harmonique donc sous la forme:
Tu n'auras un terme en que si tu tiens compte des frottements.
Bon je n'ai pas fait ça depuis un moment mais la méthode à appliquer et celle là, je te laisse chercher un peu et si ça ne fonctionne pas je rechercherai un peu plus sérieusement.
J'ai oublié de préciser avant la question 2):
La masse est lachee sans vitesse initiale depuis la position z0>zeq
Est ce cela:
position de z=g+(k/m)(z0-zeq)
Mais z0-zeq<0 donc là je ne comprends pas trop... j'ai l'impression de me tromper je ne comprends pas bien l'equilbre....
Autant pour moi tu n'as pas à intégrer. Je ne me souvenais plus réellement du problème et les subtilités :p
A l'équilibre: <=>
(i)
En mouvement:
<=> (ii)
On fait un changement de variable, on pose: (iii)
Et:
Donc en partant de la relation (iii), on a:
Grâce à (i), on a:
On remplace z dans la relation (ii):
<=>
On obtient finalement l'équation différentielle: avec
Voilà, j'espère que tu as suivi et que je n'ai pas fait d'erreur de calcul. Mais au final on sait qu'on a un oscillateur harmonique donc on doit retomber sur une équation différentielle du 2ème ordre comme j'ai écrit au-dessus donc ça semble correct.
Désolé de t'avoir mis sur une mauvaise piste au début... Le cas d'un ressort horizontal est plus simple car le poids et la réaction du support (qui n'apparait pas dans le cas du ressort vertical) sont suivant l'axe vertical donc on obtient directement l'équation différentielle.
Pour cet exercice, il faut le faire au moins une fois (essaies de le refaire tout seul dans quelques minutes histoire d'avoir un peu oublié la méthode) et de comprendre comment on parvient à ce résultat pour que tu t'en souviennes, la seule chose à se souvenir est le changement de variable.
Du coup, je pense que tu n'as plus besoin d'aide pour les autres questions.
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