Bonjour
La solution particulière est celle correspondant à la dérivée par rapport au temps nulle à chaque instant.
Si tu hésites sur l'expression de , dérive l'expression de v_H obtenue ; tu dois retomber sur :

ok du coup mon est vérifié.

Pour la solution particulière v_P, avec le condition initiale à t=0, j'avais fait ça au brouillon :
La solution finale v = v_H + v_P = Ae^-t/ + B avec une constante car le second membre l'est également. Or v(t=0)=-v₀ et v(t=0)=A + B donc A + B = -v₀ et c'est ici que je bloque...

Tu ne traites pas les difficultés dans le bon ordre. La solution particulière est parfaitement définie ; c'est la valeur de v quand (dv/dt)=0 :


La seule constante inconnue est ainsi A que tu détermines à partir des conditions initiales.

J'ai donc v(t=0)=A + g = -v₀ donc A=-g(v+)

d'où v = -g [ (v+)e^-t/ - ] ?

Je pense que tu a oublié un indice dans ta formule... Simple étourderie j'imagine.
Un peu plus grave : en posant t=0 dans l'expression de v, on devrait retrouver v_o, ce qui n'est pas le cas !
De façon plus générale, tu as tout intérêt à vérifier au fur et à mesure l'homogénéité des formules littérales que tu écris. Ton résultat est nécessairement faux : il n'est pas possible d'additionner deux grandeurs n'ayant pas la même dimension physique : une vitesse v_o et une durée !