Bonjour,

En général, dans ce genre d'équation différentielle, les solutions te sont proposées puisqu'elles sont peu résolvables exactement... donc HP, oui et non on va dire... Difficile de dire...
Il est souvent demandé de vérifier que la fonction proposée est une solution possible de l'équation. (Ce qui est bien le cas, facile de le vérifier !)


Cependant, sur ce cas particulier, je peux te proposer deux idées :

IDEE n°1 :
Comme on sait que sinus est la fonction dérivée de cosinus, que sin² + cos² = 1 et que tu peux remarquer que ton équation ressemble étrangement à une équation cartésienne d'un cercle ayant pour rayon X² + Y² = A² avec X qui serait le cos et Y le sin...

On pressent donc la solution du type z(t) = K.cos( ₀).



IDEE n°2 :
Je ne garantis pas la validité mathématique de ceci mais si je dérive l'équation différentielle...

2.z".z' + 2.z'.z = 0

Comme z' ne s'annule pas tout le temps, on a donc l'équation différentielle suivante, après division par 2z'
z" + z = 0

Là, tu reconnais l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique qui se présente sous la forme z(t) = K.cos( - ₀)
(si je garde ce qu'on te propose)



Détermination de K :
z(t) = K.cos( - ₀)
z'(t) = -K.sin( - ₀)

z'(t)² = K².sin²( - ₀) = K.(1 - cos²( - ₀)) = K² - K².cos²( - ₀) = K² - z²


Du coup, l'éq.diff est valable si
(K² - z²) + z² = A² soit K² = A² d'où K = A.


Voilà pour le coup de main !

Merci beaucoup du coup de main ! J'avais déja pensé a l'idée 1 mais la 2 (dériver pour obtenir une ED linéaire) semble très utile, j'y repenserais en DS ou en colle