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Niveau école ingénieur
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Résolution d'une équation différentielle assez complexe

Posté par
Sideway
15-07-18 à 16:21

Bonjour à tous et à toutes,

Je souhaite concevoir un avion RC (modèle réduit) à partir de rien. Je cherche donc dans un premier temps à concevoir son turboréacteur. Du coup pour commencer, je veux évaluer en fonction de certains paramètres, l'évolution de la vitesse de mon bolide en fonction du temps et du débit d'air passant par mon réacteur, sur une piste de décollage, pour ensuite déterminer la poussée nécessaire pour faire décoller mon avion sur la distance que j'ai fixée, et enfin définir la taille de mon réacteur (une fois que j'aurai la géométrie de mon réacteur, je pourrai construire autour de lui tout le reste de l'avion).

La vitesse étant v et le déplacement x (grandeurs scalaires), en fonction de mes conditions initiales/finales, je cherche à déterminer la courbe de vitesse en fonction du temps.

Je vous passerai tous les détails des calculs que j'ai réalisés pour ne pas vous encombrer le cerveau, mais voici l'équation que je cherche à résoudre (en gros c'est la 2nde loi de Newton) :

q_{m}(v_{2}(t) - v(t)) + (k_{1}+k_{2}) \left(\int_{0}^{t}{v'(u)du} \right)^{2} + k_{3} = mv'(t)

avec les conditions initiales suivantes : v(t=0) = 0; v(t=T) = v_{T}; x(t=0) = 0; x(t=T) = 50

Avec toutes les unités en système métrique et aux unités SI, bien sûr...
q_{m} : débit massique de fluide
m : masse de mon avion
k_{1} , k_{2},k_{3} : constantes par rapport au temps
v_{2}(t) : vitesse du fluide en sortie de réacteur (c'est une grandeur que je ne connais pas)




Cela fait quelques temps (très longtemps...) que je n'ai pas touché à ce genre de systèmes et je ne vois pas comment la résoudre (à vrai dire je sais même plus comment ça marche les conditions de Dirichlet donc un petit rappel sur le sujet ne serait pas de refus). Je pensais utiliser le théorème des puissances virtuelles et multiplier mon équation par un vecteur de déplacement virtuel \tau ^{*} et pouvoir en tirer quelque chose, mais je préfère demander votre avis avant de me lancer dans des calculs démentiels.

A noter qu'au final j'aimerais détailler toute ma démarche de conception en me servant de graphiques obtenus sur Matlab ou Excel (si si, je suis quelqu'un de tout à fait normal)
donc si vous avez des méthodes de résolution numérique, ce serait pratique

Bref, si vous pouviez m'aiguiller, cela me serait d'une grande aide.
Merci pour votre attention

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 15-07-18 à 20:29

Re-bonjour,

Du coup j'ai cherché un peu cet après-midi, et j'ai modifié un peu mon équation de départ.

q_{m}(v_{2}(t) - v(t)) + (k_{1}+k_{2}) \left(\int_{0}^{t}{v'(u)du} \right)^{2} + k_{3} = mv'(t)

devient à présent

q_{m}(v_{2}(t) - v(t)) + (k_{1}+k_{2}) v(t) ^{2} + k_{3} = mv'(t)

C'est pas une grande avancée me direz-vous, mais en farfouillant sur internet, je suis tombé sur un article Wikipédia traitant des équations de Riccati que voici :


Je ne sais pas si je pars trop loin, mais je pense que ça m'aidera à résoudre mon équation

Pour l'instant j'en suis à chercher une solution particulière v_{1}
pour :

v'(t) + \frac{q_{m}}{m} v(t) - \frac{(k_{1}+k_{2})}{m} v(t)^{2} = \frac{q_{m}}{m}v_{2}(t) + \frac{k_{3}}{m}

telle que v = v_{1} + u,

avec u = \frac{1}{\lambda \exp (\frac{q_{m}}{m}-2\frac{(k_{1}+k_{2})}{m}v_{1}t)+\frac{\frac{(k_{1}+k_{2})}{m}}{\frac{q_{m}}{m}-2\frac{(k_{1}+k_{2})}{m}v_{1}}}

Voilà... Ne me demandez pas de taper du Latex après ça

C'est ce que je trouve, mais je ne sais pas comment évaluer ma solution particulière v_{1}. Si je n'ai pas fait d'erreurs, la solution finale est celle qui me permettra d'évaluer la vitesse de mon avion en fonction du temps, au décollage, avec les conditions initiales et finales qui vont bien...

Merci pour votre aide !
Cordialement,

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 16-07-18 à 14:04

Bonjour
Si je comprends bien ton problème, ton système de masse m est soumis :
1° : à la force de poussée du réacteur :

q_{m}\left[v_{2}(t)-v(t)\right]

2° : à une force de frottement exercée par l'air proportionnelle au carré de la vitesse (force de traînée) :

-\frac{1}{2}\rho.S.C_{x}\cdot v(t)^{2} ou pourquoi pas : (k_{1}+k_{2})v(t)^{2} avec : (k_{1}+k_{2})<0

3° : une force constante motrice : k_{3} ?

Je ne suis pas suffisamment compétent en mathématique pour t'aider à résoudre littéralement cette équation différentielle, surtout sans renseignement sur v_{2}(t). Tu trouveras sans doute de l'aide à ce sujet sur l'île des maths. Sinon une résolution numérique devrait être facile à réaliser sous Matlab ou à l'aide d'un tableur pour différentes expression de v_{2}(t). Tu peux aussi directement obtenir les courbes v(t) et x(t) à l'aide du module SIMULINK présent sous Matlab.

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 16-07-18 à 18:47

Bonjour et merci pour votre aide,

Il s'agit en effet de la somme d'une force de poussée F = q_{m}(v(t) - v_{2}(t))
, la résultante axiale des frottements fluides en fonction de la vitesse de l'avion  et enfin une force de friction entre les roues et le sol qui dépend en fait du poids de mon avion et de la portance, donc un terme en  v(t)^{2} et un terme qui n'a pas de lien avec la vitesse (loi de Coulomb appliquée à la résultante normal des efforts verticaux : le poids et la portance).

Après quelques modifs j'ai regroupé les termes en v(t)^{2} pour retrouver une forme qui me parlait plus.

Comme je n'ai encore rien dessiné, je suis obligé de faire quelques hypothèses, à savoir à peu près prévoir les surfaces en x et en z dans mes calculs de trainée et de portance (je me suis fixé un avion de 1300 x 1000mm en longueur x largeur (oui oui, pour qu'il rentre dans mon coffre)). A part ça je me suis dit que mon avion ne ferait pas plus de 50 kg au décollage, et j'ai  pris la masse volumique de l'air en conditions standard. Enfin ces conditions on s'en fout pour mon calcul, puisque je fais tout en littéral pour le moment...

Après ça j'ai fait une hypothèse pour me simplifier les calculs (littéraux cette fois), qui est en fait de supposer l'accélération de mon avion constante, et c'est là que je bloque vraiment. Déjà je ne suis absolument pas sûr de la validité de cette hypothèse (a priori, on n'a aucune info sur l'accélération puisque les forces varient en fonction du temps...).

Mais admettons que cela soit vrai, j'arrive à l'étrange résultat suivant :

En posant q_{m}(t) = k_{1}v(t) , j'arrive en gros à :

\begin{cases} v(t) = v_{0} + at \\ v_{2}(t) = \frac{A}{t} + Bt \end{cases}

Or ce résultat me paraît déraisonnable, puisque quand je suis à l'arrêt, à t = 0, cela signifierait que mon réacteur produit une poussée infinie vers l'arrière. Il y a donc un point où je dois lourdement me planter. Après allez savoir lequel :/

Néanmoins le problème n'en reste pas moins intéressant

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 16-07-18 à 21:46

Merci pour toutes ces précisions. La constante k3 correspond effectivement à une force de frottement solide sous réserve de poser k3<0.
Compte tenu du fonctionnement des réacteurs, je me demande s'il ne serait pas plus réaliste d'imposer, au moins provisoirement, une expression assez réaliste de v2(t).
Par exemple : v2(t)=A.t pour 0tt1
v2(t)=A.t1=constante pour t>t1.
Si tu n'obtiens pas suffisamment d'aide pour la résolution littérale, la résolution numérique de cette équation différentielle se programme en quelques minutes sous Matlab ou Simulink. Tu obtiens "en direct" les courbes v(t) et x(t) et tu peux, par tâtonnements successifs, ajuster les paramètres pour atteindre tes objectifs.

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 16-07-18 à 21:57

Je te remercie, je vais essayer voir ce que ça donne avec cette expression de v_{2}(t) ! Après à voir si cela collerait avec un fonctionnement réaliste de mon réacteur =)

Si l'envie te prend, tu peux aller voir ici :

où j'ai ouvert un post comme tu me l'avais conseillé.

Si ça se trouve, avec l'aide d'un matheux, on trouvera peut-être la solution littérale

Bonne soirée.

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 18-07-18 à 15:40

Juste par curiosité, j'ai "demandé" à un logiciel de calcul formel (maple) de résoudre  littéralement l'équation différentielle suivante :

\dfrac{dv_{(t)}}{dt}=A.t-B.v_{(t)}-C.v_{(t)}^{2}-k
en indiquant que les constantes A,B,C et k sont réelles strictement positives et que v(0)=0.  Le résultat tient sur deux pages d'écran d'ordinateur et fait intervenir de nombreuses fonctions d'Airy de première et de seconde espèce ( voir ici quelques indications sur ces fonctions si elles ne te sont pas familières : )
Pas très encourageant !

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 18-07-18 à 20:20

Bonsoir,

Effectivement, j'avais moi-même trouvé un résultat faisant intervenir les fonctions d'Airy. Je ne m'en suis servi qu'une fois en mécanique générale il y a longtemps... Et encore je n'ai fait que les appliquer dans un calcul sans vraiment comprendre de quoi il retournait ^^ Un peu comme quand je suis une recette de cuisine héhé :p

De mon côté, j'ai trouvé une méthode qui pourrait être pas trop mal pour résoudre le problème :

je me suis aidé du post suivant :


En partant de l'équation différentielle suivante, j'ai donc posé

k_{1}\alpha t v(t) + k_{2} v(t)^{2} + k_{3} = v'(t)

avec v_{2}(t) = \alpha t (on en avait parlé hier)

Du coup comme indiqué sur le post cité, je pose v(t) = -\frac{1}{k_{2}F(t)}\frac{\partial F}{\partial t}

Ensuite je dérive mon v(t) et je le pose égal au membre de gauche de mon équation de départ. J'effectue le changement de variable pour n'avoir que du F(t) dans mon équation, et j'arrive, moyennant quelques calculs à l'équation différentielle linéaire du second ordre suivante :

F''(t) - k_{1}\alpha tF'(t)+k_{2}k_{3}F(t) = 0

Ensuite, en posant F(t) = u(t)z(t), mon équation se présente sous la forme :

z''(t) + (A+A²t²)z(t) = 0

avec A = \frac{k_{1}\alpha }{2}

Cette dernière équation me semble fort intéressante, car pas trop longue, et finalement me permettrait peut-être de résoudre mon problème...

Pourrais-tu m'indiquer ce que te renvoie ton calculateur comme solution pour cette équation ? Si j'ai z(t) , je peux remonter à F(t) puis v(t) du coup =)

Bonne soirée !

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 18-07-18 à 22:24

Personnellement, j'aime bien utiliser des signes + et des signes - dans mes équations de façon que, autant que possible, les constantes introduites soient positives. Je m'y retrouve mieux du point de vue physique.
Je veux bien que tu remplaces le "A" de mon équation fournie le 18-07-18 à 15:40 par un "" mais il faut remplacer k_{1}\alpha tv(t) par \alpha t-k_{1}.v(t) avec k1>0 et k2 et k3 sont nécessairement des constantes négatives. Cela devrait t'amener à corriger ton équation différentielle mais ensuite : d'accord pour l'utilisation du logiciel de calcul formel !

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 20-07-18 à 22:37

Bonsoir !

Je ne me penche sur ce sujet que maintenant que je suis en weekend (travail oblige...).
Je n'ai pas bien compris ton dernier post. Je vais néanmoins tenter d'éclaircir les choses pour qu'on parte sur une base correcte, avec tous les renseignements aussi précis que possibles.

Je remets donc en forme les équations établies jusqu'alors :

\begin{cases} F_{poussée}(t) = q_{m}(t)(v_{2}(t) - v(t)) \\ q_{m}(t) = \rho _{2}(t)v_{2}(t)S_{2} - \rho _{air}v(t)S_{1} \\ F_{poussee}(t) - k_{1}v(t)^{2} + k_{2}v(t)^{2} - k_{3} = m\frac{dv}{dt}(t) \\ v_{2}(t) = \alpha t \end{cases}


tels que :
\begin{cases} k_{1},k_{2}, k_{3} > 0 \\ m,\alpha >0 \end{cases}

S_{1}, S_{2} sont les sections d'entrée/sortie de carénage
et k_{1},k_{2},k_{3} sont des paramètres à fixer pour résoudre l'équation.



On travaille sur la phase de décollage, telle que t \in [0,T] (ATTENTION : zéro INCLU, donc pas de \frac{1}{v(t)} possible dans la résolution de l'équation...)

Voilà, je m'aperçois avec tout ça qu'il n'y a que 4 équations pour 5 inconnues dépendant du temps (6 si on prend en compte l'accélération, que l'on peut relier à la vitesse par les lois de la cinématique), donc ce problème n'est pour le moment pas résoluble. Il manque des équations, peut-être à tirer de la thermodynamique ? Ou bien des hypothèses simplificatrices qui seraient réalistes. Je penche plutôt sur le dernier point, personnellement.

Mais allez trouver l'hypothèse qui collerait... Accélération \frac{dv}{dt}(t) = Constante ? Écoulement permanent tel que q_{m}(t) = Constante ? (a priori non car on est plutôt en régime transitoire là, mais bon, sait-on jamais...)

Enfin voilà où j'en suis pour le moment, j'espère que cela éclaircira les choses =)

Bonne soirée !

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 11:59

Bonsoir
F_{poussée}(t)=q_{m}(t)(v_{2}(t)-v(t))
D'accord !
q_{m}(t)=\rho_{2}(t)v_{2}(t)S_{2}-\rho_{air}v(t)S_{1}
Pas d'accord :
q_{m}(t)=\rho_{2}(t)v_{2}(t)S_{2}
Si le régime est permanent pour un turbo réacteur classique :
\rho_{2}(t)v_{2}(t)S_{2}=\rho_{air}v(t)S_{1}
mais cela n'est pas le cas au tout début du mouvement.
Il faut prendre en compte une force de frottement exercée par l'air : poser k2<0 ?
Je ne connais pas le fonctionnement de ton réacteur et en particulier son régime transitoire au démarrage.
En réfléchissant : peut-être modifier ma proposition précédente en remplaçant v2(t) par 2(t).v2(t) ???

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 13:22

Bonjour,

C'est bien ce que je me disais pour le domaine d'étude on est en régime transitoire, donc pas de q_{m} = Cte. Merci pour la confirmation !

Concernant cette force de frottement de l'air (ma force de trainée) il s'agit en fait de k_{1}v(t)^{2}.

Pour faire simple, la seconde loi de Newton me donnait au début :

\begin{cases} F_{poussee} -F_{trainee} - \mu R_{N} = m\frac{dv}{dt} \\ F_{portance} -mg + R_{N} = 0 \end{cases}

Avec F_{trainee} = k_{1}v(t)^{2}
et F_{portance} = \frac{k_{2}}{\mu }v(t)^{2}

Pour info, k_{3} = \mu mg

C'est pourquoi tous mes coefficients k_{1} , k_{2}, k_{3} sont strictement positifs.

(parenthèse : "ma vie...") Au fait, je prépare un diplôme en ingénierie mécanique, l'aéronautique est toute nouvelle pour moi, donc je découvre en même temps que je fais avancer mon projet d'avion RC =) C'est très épanouissant ! On en apprends un tas de notions de mécanique des fluides, thermodynamique, RDM... Je m'éclate

Pour revenir au problème, remplacer v_{2}(t)
par \rho _{2}(t)v_{2}(t) ne résoudrait pas le problème, car il me faudrait toujours une expression pour v_{2}(t) seul (puisqu'on retrouve cette vitesse dans l'expression de F_{poussee}(t) ). Donc j'aurai toujours une inconnue en plus. Ou alors il faudrait faire une hypothèse sur \rho _{2}(t) mais je pense que cela relèverait plus de la thermodynamique.


Pour mon problème, le  but c'est de dimensionner mon réacteur à partir de certains paramètres que j'aurai fixé, notamment les performances que je veux que mon avion accomplisse. Par exemple, je souhaite un décollage  sur une distance de 100 mètres maximum, qu'il atteigne une vitesse de 50 m/s au bout de ces 100 mètres, qu'il aie des dimensions de voilure maximale, une masse limitée à 50 kg (arbitraire pour le moment), etc.

Le but premier ici c'est de déterminer finalement la puissance que doit avoir mon réacteur pour qu'il puisse décoller sous ces conditions (parmi d'autres bien sûr mais le post deviendrait bien trop long...) et en fonction de ça je peux déterminer d'autres paramètres comme S_{x} dans F_{trainee} = k_{1}v(t)² = \frac{1}{2}C_{x}S_{x}\rho _{air}v(t)² ...

Sur ce, je retourne à mes affaires ! Je vous tiens au courant si j'ai du nouveau

Bonne journée et bon weekend =)

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 17:23

J'ai essayé de me replonger dans l'étude des turbo-réacteurs au démarrage. Pas vraiment simple ! Prévois-tu un moteur électrique pour lancer avant démarrage le compresseur ?
Autre question concernant le débit de carburant qc(t) : la variation de masse du mobile par perte de carburant est-elle négligeable ou faut-il considérer la masse du mobile comme diminuant au cours du temps ?
On peut tout de même écrire l'équation différentielle valide pendant la phase où l'avion reste au sol de la façon suivante :

m(t).\frac{dv(t)}{dt}=F_{pouss\acute{e}e}-F_{train\acute{e}e}-F_{solide}
 \\ 
 \\ m(t).\frac{dv(t)}{dt}=q_{m}(t).\left[v_{2}(t)-v(t)\right]-k_{1}.v(t)^{2}-k_{3}
Reste maintenant les simplifications éventuelles :
* m(t)=m=constante ?
* peut-on imaginer que le débit passe suffisamment rapidement de la valeur nulle à la valeur constante pour pouvoir négliger cette durée et poser qm(t)=constante=qm ?
* dans ces conditions, le régime transitoire se réduirait à la montée en puissance du turboréacteur et l'hypothèse que j'ai posée primitivement (message du   16-07-18 à 21:46) sur v2(t) mériterait d'être testée ?
Déjà dans ces conditions, l'équation différentielle est délicate à résoudre littéralement mais ne pose aucun problème numériquement.
Sinon, pour évaluer la force de traînée : Sx est facile à évaluer. Pour Cx : il faudrait disposer d'une petite soufflerie. A défaut, un puissant ventilateur, un dynamomètre, un tube de Pitot ou un anémomètre pour mesurer la vitesse de l'air, permettent une mesure approchée.

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 19:24

Rebonjour,

Je réponds à toutes tes questions dans l'ordre :

Je ne prévois pas d'utiliser de moteur électrique pour aider au démarrage. Je ferai chauffer le compresseur avant le lancement.

*Pour la phase de décollage, je considère la masse de l'avion constante. Le démarrage ne durant que quelques secondes, je pourrai faire les calculs ainsi, et rajouter un petit coefficient de sécurité s derrière (du style s = 1.2) pour le dimensionnement.

*Pour le débit-masse, c'est une question que je me pose toujours. Après à voir quelle valeur prendre pour q_{m}... un débit moyen pour le démarrage ? Ou bien sa valeur efficace ?

*Dans mon école, je devrais disposer du matériel nécessaire pour "improviser" une soufflerie et faire les mesures nécessaires. J'ai néanmoins une forme de mon profil en tête pour mon avion : une aile de type Delta, comme sur le Mirage 2000 (avec une surface assez grande par rapport à la surface totale de l'avion, quand on le regarde du dessus). Notez que je ne souhaite pas (trop) me compliquer la vie, je partirai sur une seule entrée d'air, un peu comme sur le General Dynamics F-16 (j'aime bien le style).

Je suis donc en ce moment en train de faire des recherches sur différentes polaires qui pourraient me servir à la construction de mon avion. Cela pourra me donner une idée pour le moment des coefficients C_{x} et C_{z}.

Une question me chiffonne quand même : dans l'équation que tu me montres, F_{solide} = k_{3}. Cependant, quand j'ai fait les calculs, je me retrouvais avec une réaction normale du sol par rapport à mon avion qui allait en décroissant (car dépendant du poids constant de l'avion, et de la portance qui elle grandit...) d'où le terme en k_{2}v(t)^{2} supplémentaire !
Est-ce un oubli de ta part ou bien volontaire ?

Pour l'évaluation de S_{x}, je pense à ne considérer que la forme des ailes et du fuselage vu de l'avant. Je m'étais fixé au maximum un avion de 1000 mm de large. Partant de là, je peux dessiner approximativement la forme qu'il aura vu de face, et je pourrai estimer à peu près le S_{x}. Par contre pour l'évaluer, je pensais à un petit rectangle pour chaque train d'atterrissage, un cercle pour le fuselage principal et deux trapèzes pour les ailes delta. Ceci reste une grossière approximation mais elle pourrait nous permettre de nous faire une idée sur les résultats de l'équation.


Merci pour ton soutien en tout cas

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 23:01

Bonsoir
Quelques précisions à propos de la force de frottement solide considérée comme une constante k3.
La théorie sur les frottements solides (lois de Coulomb) que tu présentes serait valide pour un véhicule sans train d'atterrissage qui glisserait sur le sol. On aurait alors, comme tu l'as écrit :
k3=µ.m.g avec µ coefficient de frottement dynamique. Cette force serait très importante.
Heureusement, ton avion est muni d'un train d'atterrissage. Les roues n'étant pas motrices, la phase initiale transitoire entre le glissement et le roulement sans glissement est sûrement d'influence et de durée négligeables et, lorsque les roues roulent sans glisser, la réaction tangentielle du sol ne travaille pas et n'influence pas le mouvement. Je suppose bien sûr l'énergie cinétique de rotation des roues totalement négligeable devant l'énergie cinétique de translation du véhicule. Cependant, les roulements à billes des roues ne sont pas parfaits, ce qui génère des frottements solides. Sans faire l'étude dynamique détaillée d'une roue, ces frottements solides sont équivalents à une force de frottement solide constante.

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 21-07-18 à 23:08

Bien vu !

Je l'avais oublié le roulement sans glissement ! Tu as raison, la réaction normale au support est orthogonale à la vitesse dans le cas de roulement sans glissement. Pourquoi n'y ai-je pas pensé plus tôt !

Merci beaucoup pour ces précisions, cela allège vraiment le problème pour le coup =)

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 00:37

Bonsoir !

Effectivement, même en supposant un débit-masse constant et avec l'hypothèse v_{2}(t) = \alpha t , j'arrive toujours à une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants ==> utilisation de fonctions spéciales de Airy, Bessel et compagnie, donc je vais me pencher sur une résolution numérique =)

Je verrai ça demain, pour l'heure, il faut aller dormir

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 13:17

Bonjour,

J'ai réalisé un petit programme Matlab me permettant de calculer la vitesse de l'avion en fonction de tous les paramètres énumérés plus haut,  en supposant un débit massique constant de 50 kg/s (arbitraire) et une vitesse d'éjection de gaz linéaire dans le temps.

J'obtiens quelques résultats aux ordres de grandeur cohérents que je joins à ce message au format .png
A noter que l'expression que j'ai de v_{2}(t) serait peut-être à modifier.
J'ai choisi le coefficient \alpha de sorte à avoir v_{2}(t) > v(t) pendant la phase de décollage avec ces deux valeurs assez proches tout de même (tant que F_{portance} < mg, c'est à dire pendant 4,5 secondes environ pour ma simulation.


Les coefficients que j'ai choisi pour C_{x} et C_{z} sont à la louche, c'était pour pouvoir tracer les courbes pour le moment...

Voilà, sur ce j'y retourne, n'hésite pas à me dire ce que tu en penses,
bonne fin de weekend =)

P.S. : j'aurais pu placer les deux vitesses sur le même graph, mais je galère à placer les légendes sur les graphiques, sur Matlab Mais en gros, la vitesse d'éjection est supérieure à la vitesse de l'avion tant que t < 4,5s , après quoi l'avion s'envole

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 17:20

Je viens de regarder ton fichier. Tu as bien travaillé mais je ne suis pas tout à fait d'accord sur trois points.
1° : tu n'as pas tenu compte de mon message précédent : en posant k3=µ.m.g tu supposes que ton avion démarre "sur le ventre" sans train d'atterrissage ! Ta valeur de k3 est beaucoup trop élevée ! Avec un train d'atterrissage, les frottements solides sont dus essentiellement aux roulements et aussi (j'ai oublié d'en parlé hier soir) aux déformations des pneumatiques : cette déformation fait que la réaction normale au plan du sol ne passe pas tout à fait par l'axe de rotation, ce qui génère un moment de freinage. On modélise souvent la force de frottement solide sous la forme :
Fsolide= Crr.m.g où Crr est la constante de résistance au roulement qui dépend de la qualité des roulements, de la qualité des pneumatiques, de leur gonflage, de la nature du sol. Crr est toujours très inférieur à µ (s'il n'en était pas ainsi : à quoi servirait-il d'avoir inventé la roue ?). J'ai choisi pour la simulation : Crr = 2.10-3 .
2° Si je déchiffre bien ta copie d'écran, tu choisis un débit massique d'air qm=50kg/s ; cela représente près de 40m3 d'air par seconde : valeur énorme à mon avis pour un modèle réduit. J'ai choisis pour ma simulation : qm=5kg/s.
3° : la vitesse d'éjection des gaz par rapport à la terre v2(t) est toujours très supérieure à la vitesse d'entrée des gaz dans le réaction v(t) (je suppose l'absence de vent) sinon il n'y aurait pas de propulsion ! Cette vitesse peut atteindre plusieurs centaines de mètres par seconde. J'ai choisi, de façon assez arbitraire :
v2(t) = 90.t pour 0<t<2s
puis une croissance linéaire de 180m/s à 200m/s entre t=2s et t=10s.
J'ai supposé la perte de masse due au carburant consommée négligeable. Je suppose bien sûr le débit massique de carburant consommée négligeable devant qm.
En flemme aujourd'hui de rentrer des lignes de code, j'ai programmé la simulation numérique sous Simulink (un des modules graphiques de Matlab). Voici le résultat (en abscisse : la durée en secondes) :

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 18:16

Bonjour,

J'avais gardé le k_{3} tel quel car je ne savais pas trop quoi mettre à la place ^^ Merci pour ton explication, je comprends à présent l'ordre de grandeur pour ce frottement solide...

Personnellement, je ne me suis servi de Simulink que quelques fois, pour faire de l'asservissement pour des études de systèmes linéaires en électronique. Je suis loin de connaître toutes ses fonctions. A vrai dire je ne sais que réaliser des fonctions de transfert :p Bref, je me renseignerai sur ce module car il est apparemment beaucoup utilisé dans l'industrie, il a l'air super intéressant et surtout ça semble un gain de temps énorme par rapport au code brut comme mon Live Script !

J'ai relancé ma simulation du coup, avec tes paramètres pour voir la portance, la poussée et OUI effectivement ça pousse bien, et ça décolle vite (en environ 4,2 secondes, la portance dépasse le poids de l'avion et je parcours une distance de 90 mètres seulement !)

Par contre étrangement, ma vitesse n'a pas la même tronche que la tienne ! J'ai plutôt une vitesse convexe moi ! D'ailleurs c'est bizarre, puisque je réduis la vitesse d'éjection, ma poussée croît moins vite (ça se voit sur le schéma) et je devrais donc ralentir... Je vais essayer de voir d'où ça vient, j'ai dû me planter en réécrivant le programme

A côté de ça, j'ai commencé une petite maquette sur PTC Creo 4 (anciennement Pro Engineer), histoire d'avoir une idée de la forme de mon avion et de pouvoir faire quelques calculs numériques intéressants. Je pourrai aussi déterminer de façon un peu plus claire mon S_{x} et mon S_{z}.

Je reviens quand j'ai résolu mon soucis sur Matlab.
En attendant, un petit screen des courbes que j'obtiens :

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Posté par
vanoise
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 19:07

Si cela peut éventuellement t'intéresser : voici le fichier Simulink qui visualise la résolution de l'équation différentielle. Le bloc (additionneur-soustrateur) reçoit :
La constante (k3/m) affectée du signe (-) ;
le signal d'entrée \frac{q_m}{m}\cdot v_2(t) noté "signal 1"
la vitesse multipliée par le gain1 (\frac{q_m}{m}) affectée du signe (-)
le carré de la vitesse multiplié par (k2/m) affecté du signe (-).
Deux blocs "oscillo" permettent de visualiser en sortie la vitesse et la distance parcourue.
Les deux blocs intégrateurs, auxquels il faut fournir les conditions initiales et la durée d'étude, font le travail !
P.S. : détail sans importance : la courbe "signal 1" est tronquée ; elle est tracée entre t=0 et t=10s...

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Résolution d\'une équation différentielle assez complexe

Posté par
Sideway
re : Résolution d'une équation différentielle assez complexe 22-07-18 à 22:32

J'ai trouvé mon erreur ! Il s'agissait d'un signe - était apparu comme par magie dans mon changement de variable, l'erreur du débutant quoi... Du coup j'obtiens la même courbe que toi ! =) J'ai aussi tracé la distance en fonction du temps et ça Concorde (sans mauvais jeu de mot).

Sinon très intéressant ton schéma sur Simulink ! J'y penserai la prochaine fois que j'aurai une équation différentielle à résoudre.

Je me remets au développement de mon modèle dès que j'ai le temps courant semaine prochaine, travail oblige =)

Bonne fin de soirée !



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