i1 = (Ve-V1)/R
i2 = (V1-Vs).2pC
i3 = (V1-Vs)/R
i3 = pC.Vs

pC.Vs = (V1-Vs)/R
V1 = Vs(1+pRC)

i1=i2+i3
(Ve-V1)/R = (V1-Vs).2pC + pC.Vs
(Ve-Vs(1+pRC))/R = (Vs(1+pRC)-Vs).2pC + pC.Vs
Ve-Vs(1+pRC) = (Vs(1+pRC)-Vs).2pRC + pRC.Vs
Ve = Vs(1+pRC+2p²R²C²+pRC)
Ve = Vs(1+2pRC+2p²R²C²)

Ve = Vs + 2RC.dVs/dt + 2R²C².d²Vs/dt²

Il reste à résoudre cette équation différentielle.
Avec Ve = E et Vs(0) = 0

Cela ne devrait pas poser de problème.
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Sauf distraction.  

bonsoir J-P!
Merci beaucoup pour votre réponse très détaillée!
Cependant, je me pose une question: que représente la grandeur pC qui intervient dans l'expression de i₂ par exemple... à quoi correspond-elle?

p est une notation utilisée pour une variante de résolution par Laplace.

Dans le cas de l'exercice, on peut remplacer p par d/dt

Donc par exemple :
i2 = (V1-Vs).2pC
est équivalent à : i2 = 2C.d(V1-Vs)/dt
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p² peut être remplacer par "d²/dt²"

Donc par exemple :
Ve = Vs(1+2pRC+2p²R²C²)
est équivalent à :
Ve = Vs + 2RCdVs/dt + 2R²C²d²Vs/dt²
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Si tu ne connais pas cette méthode, on peut alors faire sauter la notation p et la démo devient:

i1 = (Ve-V1)/R
i2 = 2C d(V1-Vs)/dt
i3 = (V1-Vs)/R
i3 = C. dVs/dt

C. dVs/dt = (V1-Vs)/R
V1 = Vs + RC dVs/dt


i1=i2+i3
(Ve-V1)/R = 2C d(V1-Vs)/dt + C. dVs/dt
(Ve- Vs - RC dVs/dt)/R = 2C d(Vs + RC dVs/dt-Vs)/dt + C. dVs/dt
(Ve- Vs - RC dVs/dt)/R = 2C d(RC dVs/dt)/dt + C. dVs/dt
Ve- Vs - RC dVs/dt = 2RC d(RC dVs/dt)/dt + RC. dVs/dt
Ve- Vs - RC dVs/dt = 2R²C² d²Vs/dt² + RC. dVs/dt
Ve = Vs + 2RC. dVs/dt + 2R²C² d²Vs/dt²
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Sauf distraction.  

Lire:
...  "p² peut être remplacé par "d²/dt²" ...

effectivement je ne connaissais pas cette notation! enfin disons que j'ai arrêté les sciences de l'ingénieur il y a 8 mois donc j'ai eu le temps de l'oublier!
maintenant c'est bcp plus clair! je vais essayer votre méthode et je vous tiens au courant si je ne trouve pas la meme chose!
merci pour tout en tout cas

j'ai un problème pour résoudre l'équa diff...
doit-on trouver deux solutions complexes ou réelles? parce quoi moi je trouve un discriminant négatif!
pour les solutions je trouve r = 1/RC.(-1+j) et r = 1/RC.(-1-j)
donc v_s(t) = e^t/RC.[A.cos(t/RC) + B.sin(t/RC)]

mais on ne possède qu'une condition initiale : V_s(0)=0
ce qui me donne A=-E mais comment déterminer B??
merci d'avance

Il manque un moins dans l'exposant de l'exponentielle et il manque l'ajout d'une solution particulière à l'équation différentielle avec second membre.

Ceci corrigé amène:

Vs = E + e^(-t/(2RC)) * (A.sin(t/(2RC)) + B.cos(t/(2RC)))

Vs(0) = 0 --> B = -E

Vs = E + A.e^(-t/(2RC)).sin(t/(2RC)) - E.e^(-t/(2RC)).cos(t/(2RC))

Comme la tension est nulle au départ sur le condensateur 2C, comme l'ampli est en mode linéaire, la tension sur la résistance R (entrée + de l'OP) est nulle aussi.
Donc en t = 0, le courant dans cette résistance est nul et par conséquent le courant dans le condensateur C aussi.

On a Ic = C.dVs/dt et en t = 0, Ic = 0 --> (dVs/dt)(0) = 0

dVs/dt = -(A/(2RC)).e^(-t/(2RC)).sin(t/(2RC)) + (1/(2RC)).A.e^(-t/(2RC)).cos(t/(2RC)) + (E/(2RC)).e^(-t/(2RC)).cos(t/(2RC)) + (E/(2RC)).e^(-t/(2RC)).sin(t/(2RC))

(dVs/dt)(0) = (1/(2RC)).A + (E/(2RC)) = 0
Et donc A = -E

Finalement:
Vs = E - E.e^(-t/(2RC)).sin(t/(2RC)) - E.e^(-t/(2RC)).cos(t/(2RC))

Vs = E - E.e^(-t/(2RC)).(sin(t/(2RC)) + cos(t/(2RC)))
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Sauf distraction, vérifie.

effectivement j'avais oublié la solution particulière de l'équation différentielle et il y a bien sur un moins dans l'exposant de l'exponentielle!
Et, puisque i=0, je trouve bien :
V_s(t) = E - E.e^-t/2RC.[cos(t/2RC) + sin(t/2RC)]
merci beaucoup J-P!