Niveau autre

Relaxation lors d'une RMN

Posté par
snow22 29-07-11 à 14:14

Bonjour,
Voila, en fait je planche sur un exercice de physique qui me pose un léger soucis.
Dans cet exercice, on s'intéresse au phénomène de RMN. On a une population de noyau qui présente, dans son état stable un moment magnétique résultant tel que $\vec{M}=5.10^{-3}\vec{e_z}$
On existe cette population de noyau afin de lui faire faire une rotation de $\pi$ autours de l'axe $\vec{e_x}$ .
On obtient donc un vecteur $\vec{M'}=-5.10^{-3}\vec{e_z}$ .

La question qu'il m'est posé est, connaissant la valeur des temps de relaxation T1 et T2, respectivement 3s et 1,5s, quel est la valeur de l'aimantation au bout d'une seconde.

Pour résoudre ce problème, j'ai considéré que la relaxation va se faire de deux manières simultanément : longitudinalement et transversalement.

On notera $m_0$ l'aimantation lors de la position d'équilibre stable

- Longitudinalement : mon cours m'apprend que l'on a $M_z=m_0 (1-e^{-t/T1})$
Seul problème, cette formule est issue des équations de bloch lorsqu'on considère qu'à t=0, on a une $m_z=0$ , autrement dit, on a considéré le cas d'une rotation de $\vec{m}$ d'un angle de $pi/2$ alors que dans mon problème la rotation s'est faites de $\pi$ .

J'essaie donc, en partant des equations de bloch de retrouver un résultat qui m'intéresse :
je pose alors : $dm_z/dt = (m_0 - m_z)/T_1$ (point de départ qui m'a été parachuté dans le cours)
Ce qui me permet d'écrire : $d(m_z- m_0)/dt = -(m_z - m_0)/T_1$
Soit $m_z - m_0 = Ce^{-t/T_1}$
Je considère qu'au temps 0, on a $m_z(0)=-m_0$
J'en déduit donc que $C=-2m_0$
Et enfin $m_z = m_0 - 2m_0e^{-t/T_1} = m_0(1-2e^{-t/T_1})$

-Transversalement : dans mon cours, on obtient normalement à la fin :
$m_x=m_x(0) e^{-t/T_2} cos (\gamma Bt)$
$m_y=m_y(0) e^{-t/T_2} sin (\gamma Bt)$
Seul problème, pour déterminer ces formules, il a été considéré que le vecteur $\vec{m}$ était tel que : $\vec{m(t=0)}=m_x(0)\vec{e_x} + 0\vec{e_y}+0\vec{e_z}$ . Hors de mon cas, (dites moi si je me trompe), on a $\vec{m(t=0)}=0\vec{e_x} + 0\vec{e_y}- m_0\vec{e_z}$

Je décide donc de reposer les équations de bloch pour les composantes de m selon x et y :
$dm_x/dt= \gamma Bm_y - m_x/T_2$
$dm_y/dt=-\gamma Bm_x - m_y/T_2$
Puis je procède à la méthode de résolution utilisée dans mon cours (assez longue à écrire, je ne l'écrirais pas maintenant, mais si elle est nécessaire dites le moi et je l'écrirais)
Au final, en posant :
$m_+=m_x + im_y$
$m_-=m_x - im_y$
J'aboutis à :
$m_+ = C_+ e^{-i \gamma Bt}e^{-t/T_2}$
$m_- = C_- e^{i \gamma Bt}e^{-t/T_2}$
(ce résultat est le même dans mon cours, donc jusque la je pense qu'il n'y a pas de soucis).
Ce qui me gène c'est qu'ensuite, dans mon cours il est considéré que :
$m_+ (0) = m_x (0) + i m_y (0) = m_x(0)$
$m_- (0) = m_x (0) + i m_y (0) = m_x(0)$
Ce qui permet ensuite de trouver les constants $C_+$ et $C_-$ et ensuite rechercher les valeur de $m_x$ et $m_y$ .
Hors, si j'applique le même raisonnement à mon cas, j'obtiens :

$m_+ (0) = m_x (0) + i m_y (0) = 0$
$m_- (0) = m_x (0) + i m_y (0) = 0$
Soit :
$m_+ = 0$
$m_- = 0$
On pose :
$m_x = (m_+ + m_-)/2 = 0$
$m_y = (m_+ - m_-)/2 = 0$

Autrement dit, je finis pas trouver que le moment résultant ne varie pas selon les axes des x et des y, comme si la précession était inexistante.
Je trouve ce résultat assez intriguant et je pense donc mettre trompé quelque part, mais je ne vois pas ou :/, quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci