Niveau licence

Relativité - Transformations de Lorentz

Posté par
pegoud 17-10-21 à 15:18

Bonjour,

Je révisais mon cours de relativité, et je coince un peu sur un point.

On me donne les formules des transformations de Lorentz pour passer des référentiels R(x,y,z,t) à R'(x',y',z't'). En prenant u la vitesse de R' par rapport à R, on a :

x = γ(x'-ut')
y = y'
z = z'
t = γ(t'-(ux'/c²)

Mon problème vient d'un exercice réalisé en TD : le cas classique où un vaisseau (avec un référentiel R') allant à vitesse u envoie un rayon lumineux vers la Terre (référentiel R), qui est ensuite réfléchi vers ce vaisseau.

- Pour les évènements "émission du rayon par le vaisseau", et "réflexion du rayon par la Terre", on utilise la formule citée précédemment. Tout va bien jusque là.

- Seulement, le dernier évènement ("réception du rayon par le vaisseau") me pose un petit souci. On en vient à utiliser les transformations suivantes :

x = γ(x'+ut')
y = y'
z = z'
t = γ(t'+(ux'/c²)

(Le signe - est remplacé par un +)

Le résultat final est cohérent en utilisant cette formule (on obtient un résultat positif, en accord avec la situation). La seule explication que je trouve, c'est que la vitesse u du vaisseau est comptée négativement lors du retour du faisceau lumineux.

Comme le vaisseau se déplace dans le sens "→" à vitesse u par rapport à la Terre
Est-ce que dans cette formule, on considère que c'est la Terre qui se déplace à vitesse u par rapport au vaisseau dans le sens "←" ?

Y a-t-il une autre explication à chercher ?
Pourquoi ce changement de signe s'opère-t-il uniquement pour cet évènement ?

Merci d'avance à la personne qui pourra m'éclairer !

Posté par re : Relativité - Transformations de Lorentz 17-10-21 à 16:59

Bonjour,

Une fois la configuration standard bien définie, u est le meme pour tous les événements.

Il faudrait recopier l'énoncé pour voir ce qui est calculé exactement et comment.

Posté par re : Relativité - Transformations de Lorentz 17-10-21 à 17:27

Merci de votre réponse !

Voici l'énoncé :

Un mobile attaché à un référentiel R'(O',x',y',z') s'éloigne de la Terre, à une vitesse constante u, dans une direction Ox normale à un miroir fixé en O sur le référentiel terrestre R(O,x,y,z). On synchronise les horloges dans R et R' à l'instant t = t' = 0 où leurs origines coïncident. Un signal lumineux est émis par O' vers le miroir qui le réfléchit instantanément vers O'. L'observateur terrestre note l'arrivée du signal au temps T.

La question posée est :

Déterminer, en fonction de T et de β = u/c, les coordonnées des évènements suivants dans R et R' :
E₀ : émission du signal en O'
E₁ : réflexion du signal sur le miroir en O
E₂ : réception du signal en O'

Là où j'en suis (j'ai indiqué en gras les données obtenues en lisant l'énoncé)

E₀ : émission du signal en O'

x₀ = (uT)/(1+β)                        x'₀ = 0
t₀ = T/(1+β)                                t'₀ = T[(1-β)/(1+β)]^1/2

E₁ : réflexion du signal sur le miroir en O

x₁ = 0                                           x'₁ = -uT/(1-β²)^1/2
t₁ = T                                            t'₁ = T/(1-β²)^1/2

E₂ : réception du signal en O'

x₂ = ?                                           x'₂ = 0
t₂ = ?                                            t'₂ = T/[(1+β)/(1-β)]^1/2

Je vous passe les détails des calculs : pour tout l'exercice, j'ai utilisé que :
x = γ(x' -βct')
t = γ(t' - βx'/c)

Ce qui me pose problème :

Pour obtenir les coordonnées x₂ et t₂, j'aurais appliqué la formule habituelle pour les transformations de Lorentz. Seulement, dans le corrigé, on m'indique que l'on doit utiliser :

x₂ = γ(x'₂ + βct'₂)
t₂ = γ(t'₂ + βx'₂/c)

Qu'est-ce qui justifie ce changement de signe pour cet évènement uniquement ? Merci d'avance pour les précisions que vous pourrez m'apporter.

Posté par re : Relativité - Transformations de Lorentz 17-10-21 à 19:23

Je viens de me rendre compte d'une erreur (et je pense avoir compris d'où venaient mes problèmes).

Si je ne me trompe pas, on a :

x = γ (x' + ut')
t = γ (t' + (u/c²)x')

mais

x' = γ (x - ut)
t' = γ (t' - (u/c²) x')

Comme la transformation n'était écrite que dans un sens dans mon cours, je me suis mélangé les pinceaux... J'étais parti du principe que, quelque soit le sens de la transformation (de R vers R' ou de R' vers R), l'expression de la transformation de Lorentz était identique (avec un signe moins à chaque fois). Mais assez logiquement, ça ne peut pas fonctionner.

Merci, bonne soirée !

Posté par re : Relativité - Transformations de Lorentz 17-10-21 à 19:24

* t' = γ (t - (u/c²) x) bien sûr

Posté par re : Relativité - Transformations de Lorentz 17-10-21 à 19:43

En config. standard on a:

Transformation de R à R'
x' = (x - ct)
ct' = (ct - x)
avec =u/c

et la transformation inverse s'obtient bien en changeant u en -u (donc en -)

x = (x' +ct')
ct = (ct' +x')

Cette écriture fait mieux ressortir la symétrie dans ces formules.