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Relativité restreinte
Bonjour ,
Je suis intéressé par la relativité restreinte ces derniers temps et j'essaie de m'entraîner avec des exercices. Actuellement, je suis au chapitre de la dynamique relativiste et je bute sur un exercice. De plus, le corrigé de cet exercice est très court et je peine à comprendre d'où peut sortir un tel résultat. Voici l'énoncé et la question sur laquelle je bloque, ainsi que la réponse donnée par le corrigé.
Un statoréacteur interstellaire Bussard (voir section 10.2.2), de masse constante M, se déplace en ligne droite à la vitesse βc dans un milieu interstellaire, contenant des protons au repos avec une densité moyenne ρ. Ce milieu interstellaire peut être considéré comme un référentiel d'inertie. L'engin est muni, à l'avant, d'un collecteur de protons de section A. Une fraction ε de la masse collectée est transformée avec une efficacité de 100 % en énergie cinétique pour les gaz d'échappement. On suppose qu'aucune matière collectée n'est perdue et que le moteur ne subit aucune perte par rayonnement. (a) Déterminer l'équation du mouvement de ce statoréacteur
Réponse : γdv/dt=ϕβ^2(sqrt( 1+ε(2−ε)/(β^2γ^2))−1) avec ϕ=Aρc^2/M.
J'ai bien sûr essayé d'appliquer les conservations d'énergie, de quantité de mouvement, d'essayer de faire un bilan de masse et même énergétique, mais je ne trouve jamais le même résultat. Je demande donc s'il serait possible, s'il vous plaît, de m'aider ou au moins de me donner une piste afin de pouvoir y parvenir. Merci.
Bonne journée !
Bonjour,
C'est bien la bonne méthode (conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement), donnez vos équations qu'on voit où est le problème.
D'accord ! Merci pour votre réponse.
Je vais envoyer mes calculs sous peu, mais avant, j'aimerais savoir s'il est préférable d'inclure dans les calculs l'énergie apportée par la masse de protons collectés, soit dE = εc²dm, avec m la masse entrante, ou s'il faut inclure la vitesse d'éjection de gaz dans les bilans de quantité de mouvement ? De même, est-il préférable de dire que la fraction de masse non utilisée reste dans le système (donc la masse de ce dernier augmente de (1-ε)dm), ou si on ne la prend pas en compte ?
Remarque : ceci étant j'arrive à qqch de très compliqué différent de la solution proposée. Y-a-t-il une hypothèse simplificatrice telle que v proche de c ?
Voici les questions en entiers :
(a) Déterminer l'équation du mouvement de ce statoréacteur.
(b) Résoudre cette équation à l'approximation des faibles vitesses.
(c) Montrer que, à vitesse relativiste, cette équation correspond à celle d'un mobile avec une accélération propre constante. Retrouver les performances citées dans la section 10.2.2.
(d) Montrer qu'il est possible d'obtenir par quadrature la position x du statoréacteur par rapport au milieu interstellaire, le temps t auquel il occupe cette position, ainsi que le temps propre à bord de l'engin en fonction de sa vitesse βc
s'il est préférable d'inclure dans les calculs l'énergie apportée par la masse de protons collectés, soit dE = εc²dm
Il faut inclure cette énergie bien sûr, le tout est de savoir sous quelle forme.
ou s'il faut inclure la vitesse d'éjection de gaz dans les bilans de quantité de mouvement ?
Bien sûr, sinon comment faire ?
Merci pour le document ! Il est intéressant de voir plus en détail l'étude de ce statoréacteur. J'aimerais savoir si de votre côté vous trouvez que la vitesse d'éjection est c*sqrt(ε(ε+2))/(ε+1)? Néanmoins, comme je l'avais indiqué, je trouve toujours un résultat différent de la solution, et même le document que vous m'aviez envoyé semble avoir un différent (en prenant en compte que le rendement est de 100 % et que la fraction est ε et non pas
1−ε). La solution donnée serait-elle inexacte ? Dans tous les cas, j'imagine que nos réponses ne sont pas fausses...
Pour ce qui est de la vitesse d'éjection, vous la trouvez comment ?
Pour ce qui est du document, il faut faire attention : votre formule est en alors que le doc. est en
(avec pas le
habituel pour aider !). Je vais convertir pour voir.
Remarque : essayez d'utiliser Latex (bouton LTX en bas) pour les formules.
Pour arriver à quelque chose de simple, il a fallu que je m'aperçoive que , ce qui allège !
J'ai aussi utilisé
Il reste à faire le lien avec le texte de Bullard.
bonjour gts,
bonjour Yvan11,
J'ai aussi utilisé pour eliminer ve (vitesse d'éjection ) et ne garder que
e dans les 2 equations de conservation, puis j'ai éliminé e pour enfin trouver l'equa. diff. demandée, mais j'en ai eu pour plusieurs pages de calculs.
@gts: vous arrivez à faire le calcul plus rapidement ?
Même pour des L3, je trouve cet exo un peu "raide" !
Je n'y arrive pas très rapidement : au niveau principe physique, c'est relativement simple, mais la partie calcul est très lourde à cause du , et j'ai galéré avant de m'apercevoir que
(1) ce qui a un peu simplifié les calculs.
Si on résume
- conservation énergie
- conservation quantité de mouvement
- transformations des deux précédentes en différentielle avec prise en compte de (1)
- on a alors deux équations à deux inconnues en et
, on élimine
grâce à
(l'énergie fait intervenir
et la quantité de mouvement
)
- on obtient alors une équation du second degré en qu'on résout.
Ceci étant, je n'ai pas encore réussi à faire le lien avec le texte original de Bussard.
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