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Relativité restreinte

Posté par
jean78
05-03-19 à 21:39

Bonjour,

on note \Lambda la matrice des transformations de Lorentz.
\Lambda ^T \eta \Lambda = \eta, où  \eta est le tenseur métrique.

On a (\Lambda^T)_\nu ^{\ \mu} = (\Lambda)^{\mu} _{\ \nu} .
On peut montrer que (\Lambda^{-1})^{\mu} _{\ \nu} =(\Lambda)_\nu ^{\ \mu} .

Ma question est pourquoi ne peut-on dire que (\Lambda)_\nu ^{\ \mu} = (\Lambda^T)^{\mu} _{\ \nu} ? Bien sur cela impliquerait que \Lambda^{-1}=\Lambda^T, ce qui est faux. Mais je ne comprends pas bien pourquoi la manipulation précédente n'est pas correcte.

Merci d'avance.

Posté par
Macs411
re : Relativité restreinte 11-03-19 à 12:30

Bonjour,

Attention il me semble que tu exprimes mal les composantes de \Lambda^T.
J'écrirais plutôt ( \Lambda^{T} )^{\mu}_{\ \nu}=\Lambda^{\nu}_{\ \mu}
Avec cette écriture, ton problème disparait bien.

Bonne journée

Posté par
jean78
re : Relativité restreinte 06-06-19 à 20:37

Bonjour

désolé pour le petit retard.

J'imagine que (\Lambda^T)^\mu_{ \ \nu} =(\Lambda)^\nu_{ \ \mu} est aussi une définition correcte (quoi que je ne comprends pas comment un indice covariant à gauche puisse "égaler" un indice contravariant à droite), mais la mienne l'est aussi...
\eta^{\mu\beta}(\Lambda^T)^{ \ \alpha}_{ \beta}\eta_{\alpha\nu} =(\Lambda^T)^\mu_{ \ \nu}=\eta^{\mu\beta}(\Lambda)^{ \alpha}_{ \ \beta}\eta_{\alpha\nu}
Le dernier terme n'est-il pas égal à (\Lambda)^{ \ \mu}_{ \nu} ?

Posté par
Macs411
re : Relativité restreinte 20-06-19 à 15:59

Bonjour,

En fait, ton dernier terme est égal à  (\Lambda^T)_\nu ^\ \mu...
En aucun cas le fait d'avoir ''monté'' et ''descendu'' les indices \mu et \nu ne résout le problème de la transposée !

Pour éclaircir tout ça, pars de la définition de base de la transposée:
si A  est une matrice ayant pour coefficient (A)_{ij}=a_{ij},
(A^T)_{ij}=a_{ji}

Maintenant si tu multiplies  (A^T)B  , tu trouves :

(A^TB)_{ij}=\sum_k (A^T)_{ik}(B)_{kj}=\sum_k a_{ki} b_{kj}

En appliquant la même chose à \eta_{\mu \nu}=(\Lambda^T \eta \Lambda)_{\mu \nu} tu trouves :

\eta_{\mu \nu}=(\Lambda^T)^\mu_{\ \rho} \eta_{\rho \sigma}\Lambda^\sigma_{\ \nu} = \Lambda^\rho_{\ \mu} \eta_{\rho \sigma}\Lambda^\sigma_{\ \nu}

Et par identification on a bien: (\Lambda^T)^\mu_{\ \rho}=\Lambda^\rho_{\ \mu}

J'espère que tout cela est plus clair maintenant !

Bonne journée



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