Niveau licence

Relativité restreinte

Posté par
jean78 05-03-19 à 21:39

Bonjour,

on note $\Lambda$ la matrice des transformations de Lorentz.
$\Lambda ^T \eta \Lambda = \eta$ , où $\eta$ est le tenseur métrique.

On a $(\Lambda^T)_\nu ^{\ \mu} = (\Lambda)^{\mu} _{\ \nu}$ .
On peut montrer que $(\Lambda^{-1})^{\mu} _{\ \nu} =(\Lambda)_\nu ^{\ \mu}$ .

Ma question est pourquoi ne peut-on dire que $(\Lambda)_\nu ^{\ \mu} = (\Lambda^T)^{\mu} _{\ \nu}$ ? Bien sur cela impliquerait que $\Lambda^{-1}=\Lambda^T$ , ce qui est faux. Mais je ne comprends pas bien pourquoi la manipulation précédente n'est pas correcte.

Merci d'avance.

Posté par re : Relativité restreinte 11-03-19 à 12:30

Bonjour,

Attention il me semble que tu exprimes mal les composantes de $\Lambda^T$ .
J'écrirais plutôt $( \Lambda^{T} )^{\mu}_{\ \nu}=\Lambda^{\nu}_{\ \mu}$
Avec cette écriture, ton problème disparait bien.

Bonne journée

Posté par re : Relativité restreinte 06-06-19 à 20:37

Bonjour

désolé pour le petit retard.

J'imagine que $(\Lambda^T)^\mu_{ \ \nu} =(\Lambda)^\nu_{ \ \mu}$ est aussi une définition correcte (quoi que je ne comprends pas comment un indice covariant à gauche puisse "égaler" un indice contravariant à droite), mais la mienne l'est aussi...
$\eta^{\mu\beta}(\Lambda^T)^{ \ \alpha}_{ \beta}\eta_{\alpha\nu} =(\Lambda^T)^\mu_{ \ \nu}=\eta^{\mu\beta}(\Lambda)^{ \alpha}_{ \ \beta}\eta_{\alpha\nu}$
Le dernier terme n'est-il pas égal à $(\Lambda)^{ \ \mu}_{ \nu}$ ?

Posté par re : Relativité restreinte 20-06-19 à 15:59

Bonjour,

En fait, ton dernier terme est égal à   $(\Lambda^T)_\nu ^\ \mu$ ...
En aucun cas le fait d'avoir ''monté'' et ''descendu'' les indices $\mu$ et $\nu$ ne résout le problème de la transposée !

Pour éclaircir tout ça, pars de la définition de base de la transposée:
si $A$   est une matrice ayant pour coefficient $(A)_{ij}=a_{ij}$ ,
$(A^T)_{ij}=a_{ji}$

Maintenant si tu multiplies   $(A^T)B$   , tu trouves :

$(A^TB)_{ij}=\sum_k (A^T)_{ik}(B)_{kj}=\sum_k a_{ki} b_{kj}$

En appliquant la même chose à $\eta_{\mu \nu}=(\Lambda^T \eta \Lambda)_{\mu \nu}$ tu trouves :

$\eta_{\mu \nu}=(\Lambda^T)^\mu_{\ \rho} \eta_{\rho \sigma}\Lambda^\sigma_{\ \nu} = \Lambda^\rho_{\ \mu} \eta_{\rho \sigma}\Lambda^\sigma_{\ \nu}$

Et par identification on a bien: $(\Lambda^T)^\mu_{\ \rho}=\Lambda^\rho_{\ \mu}$

J'espère que tout cela est plus clair maintenant !

Bonne journée