Niveau autre

relation de dispersion

Posté par
Ariel60 15-06-17 à 12:10

Bonjour,
je dois demontrer cette relation: $k^2=\frac{w^2}{c^2}-\frac{\pi^2}{a^2}$
à partir de celle-ci: $\frac{1}{c^2}-\frac{\partial^2\vec{E} }{\partial^2t}=\Delta \vec{E}$
avec $vec{E}=\vec{E_o}\vec{e_y}sin(\frac{\pi z}{\alpha})e^{j(kx-wt)}$
Je trouve:
$[-w^2+k^2+\frac{\Pi^2 }{\alpha ^2}][Eosin(\frac{\Pi}{\alpha})e^{j(kx-wt)]=-1/c^2$
Impossible d'eliminer le exp et le sinus..
Merci

***Edition Latex***

Posté par re : relation de dispersion 15-06-17 à 12:45

Bonjour
J'imagine qu'il s'agit d'une simple maladresse dans l'utilisation de l'éditeur Tex de formule à propos de ton équation de propagation de d'Alembert :

$\frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial^{2}t}=\overrightarrow{\Delta}\left(\vec{E}\right)$

Posté par re : relation de dispersion 15-06-17 à 13:10

Je projette l'équation de propagation de d'Alembert sur l'axe (Oy) :

$\triangle E_{y}=\frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} \\ \\ \triangle E_{y}=\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}=\left(-k^{2}-\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\right)\cdot E_{0}\cdot sin(\frac{\pi z}{\alpha})e^{j(kx-wt)} \\ \\ \frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}=-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\cdot sin(\frac{\pi z}{\alpha})e^{j(kx-wt)}$

Donc :

$\left(k^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\right)\cdot E_{0}\cdot sin(\frac{\pi z}{\alpha})e^{j(kx-wt)}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\cdot sin(\frac{\pi z}{\alpha})e^{j(kx-wt)}$

Cette égalité devant être satisfaite à chaque instant et en tout point, il faut :

$k^{2}+\frac{\pi^{2}}{a^{2}}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}$

Il s'agit bien de la relation de dispersion demandée.

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