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Régime sinusoidal forcé

Posté par
Cal1978 03-01-18 à 18:43

Bonjour, voici un exercice d'électricité sur les régimes forcés. Merci pour l'attention, et le temps que vous m'accordez:
Je ne sais toujours pas comment insérer un circuit électrique, je vais donc le décrire du mieux que je puisse.
Un courant i arrive d'un point A. Il se sépare en deux branches et on a
i = i_1 + i_2.
Dans la première branche (i_1) on trouve une résistance R suivie d'un condensateur C.
Dans la deuxième branche (i_2) on trouve une résistance R suivie d'une bobine.
Les deux branches se rejoignent ensuite. Le fil poursuit vers un point B.
Et on a  U_{AB} = U\sqrt2coswt

1) Quelle condition doivent satisfaire R, L, C pour que i_1 et i_2soient en quadrature ?
Le déphasage doit donc être égal à pi/2 mais bon.. je ne sais pas trop si je dois dès à présent me lancer dans des grands calculs..

2)Calculer alors l'impédance du circuit entre A et B.

Dans cette question je calcule l'indépendance équivalente comme on aurait fait pour les résistance équivalentes si tous les dipôles étaient des résistors. Je trouve un résultat avec plein de j, C, L, R donc je ne vois pas trop comment ça va m'aider pour la suite.

3)En déduire la valeur efficace I du courant i(t) et le déphasage entre i(t) et U(AB) ... J'essaye donc d'établir une équation différentielle mais à présent je pense qu'il faudrait mieux que je comprenne les deux premières questions pour ne pas aller droit dans le mur !

Merci pour vos pistes de recherche !

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 09:16

Bonjour,
1: Oui, tu dois te lancer dans les calculs. Tu trouveras une relation liant R, L, C et .
2: Avec la relation trouvée en 1, tu vas en déduire une expression de l'impédance du circuit. Plus simple que ton

Citation :
résultat avec plein de j, C, L, R
.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 11:27

Bonjour et merci de votre réponse ! J'ai vu dans mon cours que pour trouver la phase, je dois tout d'abord déterminer l'équation différentielle des deux intensités. C'est le cas ici ?

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 11:33

J'aimerai bien essayer et voir par moi-même si ça marche mais même ça je n'y parviens pas à vrais dire...

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 15:24

Première branche, Z1=R+1/jC=R-j/C
Deuxième branche, Z2=R+jL
Z1 introduit un dépahasage de ...
Z2 introduit un dépahasage de ...

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 16:01

Ah je vois  cela donne respectivement arctan(-1/RCw)  et  arctan(Lw/R).  Pour que les deux intensités soient en quadrature, il est nécessaire que l'une vaille 0 et que l'autre vaille pi/2  si j'ai bien compris la définition.
Cependant je vois pas comment arctan X peut valoir /2...
Il faut donc faire tendre X vers l'infini ?

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 16:31

Non. La différence entre les deux doit être de /2

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 17:22

C'est à dire arctan(-1/RCw) - arctan(Lw/R) = pi/2 ?

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 18:40

Oui. enfin pour être tranquille, =/2

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 18:44

Pour info, sur l'île des maths, en juin 2009, on trouvait ça:

Posté par
Pirhore : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 20:18

Bonsoir et bonne année!,

sanantonio312: on se croise rarement ici  

on peut éviter les arctan en écrivant

tan(|\varphi_1|)=\dfrac{1}{\omega RC}

tan(\varphi_2)=\dfrac{\omega L}{R}

\varphi_2=\dfrac{\pi}{2}-|\varphi_1|

cotan(\varphi_2)=cotan(|\varphi_1|)=\omega RC

remarque:en toute rigueur, la bobine devrait avoir une résistance aussi

....

Posté par
Pirhore : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 20:49

oups! il faut lire

tan(\varphi_2)=cotan(|\varphi_1|)=\omega RC

Posté par
sanantonio312re : Régime sinusoidal forcé 04-01-18 à 22:30

Bonsoir Phiro.
Merci pour ton aide. Je commençais à ramer un peu là...

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 10:59

Bonjour et merci Phirlo,
      sommes nous obligés de passer par la fonction cotan ? Après je vais surement le voir en math très prochainement.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 11:18

Sinon on aura donc :
\phi_2 = \pi/2 - \phi_1 avec des valeurs absolues

Donc cotan\phi_2 = cotan(\pi/2 - \phi_1)

Or cotan(a-b) = (cotana . cotanb + 1 )/ (cotanb - cotana)

Si j'applique cette formule je trouve que cotan\phi_2 est l'inverse de cotan\phi_1 ...

Ou alors il faut d'abord introduire le tan pour faire apparaitre C,w,L puis ensuite introduire le co ?

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 12:49

Bonjour
Une méthode possible pour éviter de faire beaucoup de trigo. Je pars de la relation déjà démontrée du déphasage de i2 par rapport à i1 :

\varphi=\arg\left(\frac{R+jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}}\right)
On multiplie par le conjugué du dénominateur de façon à faire apparaître un réel au dénominateur :

\frac{R+jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{\left(R+jL\omega\right)\left(R-\frac{1}{jC\omega}\right)}{R^{2}+\frac{1}{C^{2}.\omega^{2}}}=\frac{R^{2}-\frac{L}{C}+jR\left(L\omega+\frac{1}{C\omega}\right)}{R^{2}+\frac{1}{C^{2}.\omega^{2}}}
Ainsi :

\varphi=\arg\left[R^{2}-\frac{L}{C}+jR\left(L\omega+\frac{1}{C\omega}\right)\right]
La partie imaginaire est positive : \sin\left(\varphi\right)>0 donc : \varphi\in]0,\pi[ (en radians)

\tan\left(\varphi\right)=\frac{R\left(L\omega+\frac{1}{C\omega}\right)}{R^{2}-\frac{L}{C}}
La situation \varphi=\frac{\pi}{2}rad correspond à une tangente infinie donc à :

\boxed{R^{2}=\frac{L}{C}}

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 13:57

Citation :
\varphi=\arg\left(\frac{R+jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}}\right)


Je ne comprends pas d'ou cette relation vient ...

Et c'est le fameux déphasage qui doit donc valoir + ou - /2 ?

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 14:47

Ton message du 04-01-18 à 16:01 m'avais laissé penser le contraire. Cela dit : cela ne me gêne pas de reprendre la démonstration en détail.
Je note “u” la tension instantanée aux bornes de l'ensemble (L,R) branché en parallèle avec l'ensemble (R,C) :

u=U_{M}.\cos\left(\omega.t\right)\quad;\quad\underline{u}=U_{m}.e^{j\omega.t}
Je note i1 l'intensité instantanée du courant traversant la bobine :

i_{1}=I_{1m}.\cos\left(\omega.t-\varphi_{1}\right)\quad;\quad\underline{i_{1}}=I_{1m}.e^{j\left(\omega.t-\varphi_{1}\right)}
Je note i2 l'intensité instantanée du courant traversant la branche du condensateur :

i_{2}=I_{2m}.\cos\left(\omega.t-\varphi_{2}\right)\quad;\quad\underline{i_{2}}=I_{2m}.e^{j\left(\omega.t-\varphi_{2}\right)}

\underline{i_{1}}=\frac{\underline{u}}{R+jL\omega}\quad;\quad\underline{i_{2}}=\frac{\underline{u}}{R+\frac{1}{jC\omega}}
Pour la suite, il faut bien connaître son cours sur les propriétés des arguments des nombres complexes... Le déphasage de i2 par rapport à i1 est :

\varphi=phase(i_{2})-phase(i_{1})=\arg\left(\underline{i_{2}}\right)-\arg\left(\underline{i_{1}}\right)=\arg\left(\frac{\underline{i_{2}}}{\underline{i_{1}}}\right)=\arg\left(\frac{R+jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}}\right)
La suite est dans mon message précédent. Je t'ai détaillé ici au maximum l'utilisation des nombres complexes. Evidemment, avec un peu d'habitude, on peut faire un peu plus court.
Comme expliqué par sanantonio312, dire que deux grandeurs sinusoïdales sont en quadrature de phase signifie que le déphasage entre les deux vaut \pm\frac{\pi}{2}rad. Cependant, comme je l'ai montré dans mon message précédent, tel qu'est défini , ce déphasage ne peut varier qu'entre zéro et radians. La seule quadrature possible ici est \varphi=\frac{\pi}{2}rad.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 15:58

Oui j'avais bien compris mais c'est le lien entre les deux phases que je ne percevais pas.

Citation :
\\ \varphi=phase(i_{2})-phase(i_{1})  


Ca va mieux maintenant merci.

Je comprends pas pourquoi la phase peut prendre la valeur pi/2 .. le tan ne serait pas défini.;

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 16:05

Ok c'est une question de limite en fait.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 16:07

Pour la question 2 je me place dans les conditions de la question 1 ?

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 16:29

On a Z_{AB} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} = \frac{1}{R-\frac{j}{Cw}} + \frac{1}{R+jLw}
Soit  Z_{AB} = \frac{1}{\frac{RCw-j}{Cw}} + \frac{1}{R+jLw}

Z_{AB} = \frac{Cw(R+jLw) + RCw-j}{(RCw-j)(R+jLw)} = \frac{2RCw + j(LCw^2 -1)}{R^2Cw + jLw^2RC -jR +Lw}

Donc Z_{AB} =  \frac{2RCw + j(LCw^2 -1)}{2Lw + jR(LCw^2-1)}

Cela vous semble bien ou je pourrai peut-être encore simplifier ?

Posté par
Pirhore : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 16:40

cal1978 en réponse, un peu tard, à ton post de 10:59,

cotan(\varphi_2)=tan({\dfrac{\pi}{2}-|\varphi_1|)=cotan(|\varphi_1|)=\dfrac{1}{tan(|\varphi_1|)}=\omega RC \\

d'où la méthode me paraît plus directe que celle proposée par vanoise mais sa méthode à l'avantage de "servir " dans la suite de ton exercice

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 16:41

Je relis l'énoncé :

Citation :
Calculer alors l'impédance du circuit entre A et B.

Il faut je pense que tu tiennes compte de la relation entre R,L et C que je t'ai démontrée précédemment.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 17:35

oui j'ai remplacé Le R^2 dans mon expression. Mais à part ça je sais pas trop quoi faire d'autre...

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 17:56

J'aurais dû le signaler dans mon message précédent :

\color{red}Z_{AB} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} = \frac{1}{R-\frac{j}{Cw}} + \frac{1}{R+jLw}
Cette formule est fausse car non homogène :

\frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_{1}}+\frac{1}{Z_{2}}\quad;\quad\underline{Z_{AB}}=\frac{Z_{1}.Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}
Reprends ton calcul, dans le cas particulier de la quadrature de phase, on obtient un résultat extrêmement simple...

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 18:07

Oh la boulette..


Et je trouve 1 !

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 18:11

Je suis allé trop vite encore pff je refais..

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 18:17

Nan mais je retrouve l'inverse du résultat de tout à l'heure

Citation :
Donc  Z_{AB} =  \frac{2RCw + j(LCw^2 -1)}{2Lw + jR(LCw^2-1)}


...

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 18:19

Citation :
Et je trouve 1 !

impossible : une impédance, mesurée en ohms, ne peut pas être égale à un simple nombre !

\frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_{1}}+\frac{1}{Z_{2}}\quad;\quad\underline{Z_{AB}}=\frac{\left(R+jL\omega\right)\left(R+\frac{1}{jC\omega}\right)}{2R+j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)}=\frac{R^{2}+\frac{L}{C}+jR\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)}{2R+j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)}

Dans ce cas particulier : R^{2}=\frac{L}{C} :

\underline{Z_{AB}}=\frac{2R^{2}+jR\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)}{2R+j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)}=R

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:04

Je l'ai enfin retrouvé ! Un grand merci !

Pour la question 3, quand on me demande la valeur efficace I, c'est l'amplitude maximale de i(t) ?

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:07

On aurait alors I = \frac{E\sqrt2}{R}

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:11

Tu fournis la valeur maximale de i(t) notée Im à ne pas confondre avec la valeur efficace notée I :

I_{m}=\frac{E\sqrt{2}}{R}\quad;\quad I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{E}{R}

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:16

Ok ça marche.

On a donc en complexe U_{AB}(t) = E\sqrt2 cos wt  et  i(t)= I_mcos wt

Ils sont donc en phase ?

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:26

Citation :
Ils sont donc en phase ?

oui car tu as montré que, dans ce cas particulier, l'impédance du circuit est une valeur réelle. Bien sûr, ni i1(t) ni i2(t) ne sont en phase avec u(t) mais leur somme est en phase avec u(t).

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 19:31

Très bien  je comprends mieux le sens de l'exercice à présent. Un grand merci et bonne soirée !

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 21:07

Une dernière question qui n'a rien à voir,
Je trouve dans un exercice une intensité maximale de CwE avec E une tension. Comment puis-je savoir si l'unité est cohérente ?

Merci !

Posté par
vanoisere : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 21:22

Pour l'analyse dimensionnelle deux résultats à connaître :
RC et LC2 sont 2 grandeurs sans dimension (on dit encore : de dimension 1).
CE a la dimension de E/R donc la dimension d'une intensité.

Posté par
Cal1978re : Régime sinusoidal forcé 05-01-18 à 22:12

Super encore merci !


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