Pourquoi le titre "Référentiels non galiléens" ?

Si tu considères un référentiel terrestre comme galiléen (pour le problème posé), alors un référentiel lié à la voiture est aussi galiléen (puisque la voiture est en MRU dans le référentiel terrestre).

Il n'est pas d'usage de mettre l'axe des y vertical dans le tel problème, je mets plutôt l'axe des z vertical vers le haut.

Pour les vitesses de la goutte :
Dans R:
Vx = 0
Vy = 0
Vz = -g.t

Dans R':
Vx = Vo
Vy = 0
Vz = -gt

Et pour les positions de la goutte :
Dans R
x = xo
y = yo
z = zo - gt²/2

Dans R'
x = xo + Vo.t
y = yo
z = zo - gt²/2

Trajectoire de la goutte :
Dans R :
Seul z varie avec le temps et donc c'est une portion droite verticale.

Dans R':

Pour trouver son équation, il faut éliminer t entre les relations:
x = xo - Vo.t
z = zo - gt²/2

t = (x-xo)/Vo
z = zo - g.(x-xo)²/(2Vo²)

Dans l'espace (dans R'), les équations de la trajectoire de la goutte sont:

y = yo
z = zo - g.(x-xo)²/(2Vo²)

C'est une parabole.
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Si tu veux l'angle "de la pluie" par rapport à la verticale :

Dans R:
angle = arctg(Vx/Vz) = arctg(0) = 0°  

Dans R':
angle = arctg(Vx/Vz) = arctg(-Vo/(gt))

Ici, t est dans l'équation puisque l'angle que fait la goutte avec une verticale accrochée à la voiture dépend de la vitesse instantanée de la goutte ... qui varie en cours de chute de la goutte.

Si on veut savoir l'angle "vu" lorsque la goutte arrive au niveau de la voiture, alors il faut prendre la valeur de t qui correspond à l'instant où la goutte arrive au niveau (altitude) de la voiture.

Donc la valeur de t qui annule (zo - gt²/2), soit donc t = racinecarrée(2zo/g)

On a alors angle de la pluie au niveau de la voiture : angle = arctg(-Vo/(g.racinecarrée(2zo/g))) = arctg(-Vo/racinecarrée(2g.zo))
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Tout cela, en négligeant le frottement de la goutte dans l'air ... ce qui n'est légitime que si zo est petit.

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Rien relu et donc le tout à vérifier.

Merci pour ta réponse !

Tout d'abord j'ai mis référentiels non galiléens parce que c'est le titre du chapitre duquel est tiré l'exo qui a inspiré celui-ci.

Si j'ai bien compris tes calculs tu as supposé comme moi que la voiture allait dans le sens opposé de c'est ça ?


J'ai également compris le reste des calculs mais ce qui m'étonne un peu c'est que ça ne fait pas très "naturel" au premier abord puisque je n'aurais pas dit que l'angle pouvait dépendre du temps en première analyse. Mais en y réfléchissant il est vrai que la vitesse de la goutte croit tandis que celle de la voiture reste constante ce qui change l'angle en effet.

Et pour aller plus loin

- si j'avais voulu prendre en compte les frottements de l'air (toujours en absence de vent) comment aurais-je dû modéliser la force, par une force du type F=-v² ? Mais quelle valeur pour ?
-La poussée d'Archimède a-t-elle une influence qui peut être intéressante à prendre en compte ?

Et pour aller encore plus loin, pourrais-je analyser ce problème en considérant deux gouttes relativement "proches" comme un système de deux points matériels et considérer leur attraction gravitationnelle respective ??

En tous cas merci beaucoup ! J'y vois plus clair maintenant !

On peut négliger la poussée d'Archimède de l'air sur la goutte (puisque Rho eau > > Rho air)

Pour le coeff k de la force de frottement : F = -k.v²

k = (1/2).Rho air. Cx . S

Et en première et bonne approximation : Rho air = 1,3 kg/m³, Cx = 0,5, alors avec S Pi.R² (R est le rayon de la goutte en m)

k = 1,02.R² (donc pratiquement k = R²)
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La vitesse limite VL de chute de la goutte est telle que : P = kv²
avec P = (4/3).Pi.R³ * Rho eau * g

--> (4/3).Pi.R³ * Rho eau * g = R².VL²

VL² = (4/3).Pi.R * Rho eau * g

VL² = (4/3).Pi * Rho eau * g . R

VL² = (4/3).Pi * 1000 * 9,8 . R

VL² = 41000.R

VL = 203.Racinecarrée(R)
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Exemple : Avec une goutte de rayon 1 mm :

v = 6,5 m/s (soit environ 23 km/h) ... Ce qui est bien moins que beaucoup ne le pensent.
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Ceci n'est évidemment qu'une approximation ... mais elle ne doit pas être très loin de la réalité.
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Si on veut tenir compte de ce frottement dans l'air et trouver la vitesse verticale de la goutte en fonction du temps, il faut résoudre l'équation différentielle.

m.g - k.v² = m.dv/dt

... On trouve cette résolution un peu partout sur le net.
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On n'a évidemment pas ici tenu compte du vent éventuel ...

Quant à "l'attraction gravitationnelle" entre 2 gouttes relativement proches, oublie. Les effets de cette force est tout à fait négligeable dans le problème posé.
Si tu veux t'en convaincre calcule-la pour 2 gouttes de rayon r distante de 2r (ce qui est le minimum possible comme distance sans que les 2 gouttes n'en fassent plus qu'une) et compare cette force à la valeur du poids des gouttes par exemple.

C'est encore moi ! Je poursuis dans ce problème

J'ai voulu résoudre l'équation m*g-kv²=m*(dv/dt)

Sachant que ce n'était pas une équation linéaire j'ai essayé de trouver une astuce. J'ai pensé à la fonction tangente hyperbolique (th) qui a pour dérivée : th' = 1 - th²

J'ai donc supposé que la solution pouvait s'écrire sous la forme v = C + B*th(A*t)

J'ai donc injecté cette "solution" dans l'équation et je trouve finalement par identification (en choisissant plusieurs valeurs de t puisque l'équation doit être vraie pour tout t positif) :

C = 0
B = m/k
A = (k*g)/m

Ce qui donne donc v(t)=(m/k)*th(t*(k*g)/m)

Et cette solution marche effectivement !


J'ai quand même voulu faire ensuite une résolution un peu plus correcte en utilisant la méthode de séparation des variables

On a donc :

dv/dt = g - (k/m)*v²

Ce qui donne : (1/g)*dt = dv/(1-(k/mg)v²)

En intégrant des deux côtés on trouve :

t*(1/g) = Argth((k/mg)*v)*(1/(k/mg))

Et on en déduit finalement v(t) = th((k/m(g^3))*t)*(1/(k/mg))

Ce qui donne une "solution" qui ne fonctionne pas !

Est-ce qu'on pourrait m'éclairer sur cette résolution qui a pourtant l'air correcte, ai-je fait une erreur de calcul ou d'une autre nature ??

Merci pour votre aide !

m.g - k.v² = m.dv/dt

mg(1 - (k/(mg))v²) = m.dv/dt

g(1 - (k/(mg))v²) = dv/dt

dv/(1 - (k/(mg))v²) = g.t

dv/(1 - (v * rac(k/(mg)))²) = g.t
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S dv/(1 - (k/(mg))v²)

Poser x = (v * rac(k/(mg))
dx = rac(k/(mg)) dv
dv = rac(mg/k) dx

S dv/(1 - (k/(mg))v²) = rac(mg/k) S dx/(1-x²)
S dv/(1 - (k/(mg))v²) = rac(mg/k) .argth(x)
S dv/(1 - (k/(mg))v²) = rac(mg/k) .argth((v * rac(k/(mg)))
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Et donc en intégrant dv/(1 - (v * rac(k/(mg)))²) = g.t, on a:

rac(mg/k) .argth((v * rac(k/(mg))) = g.t + C

Et si v = 0 en t = 0 ---> C = 0

On a alors : rac(mg/k) .argth((v * rac(k/(mg))) = g.t

argth((v * rac(k/(mg))) = rac(k/(mg)).g.t

argth((v * rac(k/(mg))) = rac(kg/m).t

v * rac(k/(mg)) = th(rac(kg/m).t)

v = rac(mg/k).th(rac(kg/m).t)
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Sauf distraction.  

Bonsoir ! J'ai bien suivi ton calcul et ça m'a permis de repérer une erreur dans le mien ! J'avais divisé par g au lieu de multiplier.. Enfin bref j'ai trouvé d'où venait mon erreur et je trouve comme toi (c'est rassurant).

Encore un dernier grain de sable dans l'engrenage : C'est par rapport à la solution que j'avais trouvé en utilisant v=B*th(t*A) et en identifiant. Ma solution fonctionne c'est : v = (m/k)*th((t*k*g)/m) le problème c'est que ce n'est pas homogène th((t*k*g)/m) est adimensionné et m/k est homogène à des mètres !  ce n'est pas exactement une vitesse ^^.

Peut-être ai-je encore fait une erreur de calcul mais je ne pense pas. Et au delà du calcul, est-ce normal de trouver plus d'une solution qui plus est inhomogène à une équation non linéaire ?

Je n'ai pas l'habitude des équations différentielles non linéaires.. De toutes manières j'ai bien compris la résolution donc tout va bien de toutes manières !

Tu as du faire des erreurs.

En supposant la solution du type : v=B*th(t*A) + C

Comme v(0) = 0, on a C = 0 --->

v=B*th(t*A)

v' = AB/ch²(t*A)

mV' = mAB/ch²(t*A)
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mg - kv² = mg - k.B².th²(t*A)
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Pour satisfaire l'équation  m.dv/dt = m.g - k.v² , on a donc :


mAB/ch²(t*A) = mg - k.B²th²(t*A)
mAB = mg.ch²(t*A) - k.B²sh²(t*A)

Il faut que ce soit vrai pour tout t et donc :
Il faut que mg = kB², soit B = rac(mg/k), en effet, on a alors :

mA.rac(mg/k) = mg(ch²(t*A) - sh²(t*A))
Or (ch²(t*A) - sh²(t*A)) = 1 quel que soit At.

--> mA.rac(mg/k) = mg

A.rac(mg/k) = g

A = g/rac(mg/k)

A = rac(kg/m)

Et finalement la solution à l'équation m.dv/dt = m.g - k.v² avec v(0) = 0 est :

v(t) = rac(mg/k) * th(t * rac(kg/m))
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Je fais des erreurs à tour de bras ^^ Merci encore de m'aider à les corriger.
Mais soi je ne sais plus dériver (très possible), soi je ne sais plus calculer (possible aussi) mais quand j'essaye  v = (m/k)*th((t*k*g)/m) fonctionne, en effet :

v' = (m/k)*((k*g/m) - th²(t*k*g/m)= g - (m/k)*th²(t*k*g/m)

et g - (k/m)*v² = g - (k/m)*((m²/k²)*th²(t*k*g/m) = g - (m/k)*th²(t*k*g/m)

Sur une erreur j'ai quand même trouvé une solution ^^ Sinon ce n'est pas grave je demanderai à mon professeur de physique

Merci encore !

Par ailleurs j'aimerais si possible modéliser le vent, j'ai lu quelque part qu'on pouvait modéliser cette force par :

F = Cd*(V - Vitessevent)

Mais comment déterminer Cd ? Merci !

Tenir compte un peu sérieusement de l'effet du vent sur la chute d'une goutte de pluie n'est pas une tâche facile.
  
Raisons:
Le vent ne souffle pratiquement jamais à vitesse constante sur la durée de chute d'une goutte de pluie.
Il souffle par rafales.
La force instantanée du vent sur une goutte dépend effectivement de la vitesse relative de la composante de la vitesse de la goutte dans la direction et le sens du vent et la vitesse du vent.
Attention qu'ici, il ne s'agit pas de la vitesse de la goutte mais uniquement de sa composante dans la direction du vent.
  
Si la vitesse relative instantanée est élevée, la force du vent sur la goutte est de la forme |F| = k1.(vitesse relative)² (frottement aéeodynamique) mais si la vitesse relative instantanée est assez faible, alors la force du vent sur la goutte est de la forme |F| = k2.vitesse relative (frottement fluide).

La raison de l'existence des 2 relations |F| = k1.(vitesse relative)² et |F| = k2.(vitesse relative) s'explique par le fait que le coefficient de pénétration dans l'air (Cx) varie avec la vitesse si la vitesse est faible et est preque constant si la vitesse est élevée.

Bref, faire intervenir la vitesse du vent dans les calculs n'est pas une chose facile si on veut être proche de se qui se passe vraiment.

Peut être la moins mauvaise des façons de faire est de simplifier le problème à outrance et de considérer que la composante de vitesse de la goutte de pluie dans la direction du vent est constante et vaut la vitesse moyenne du vent.

Ceci ne devrait pas entraîner de trop grosses bêtises sur la direction de la pluie évaluée à l'arrivée au sol.

Si on veut par contre trouver, par calculs, la trajectoire de la goutte sur toute sa chute en tenant compte du vent ... alors, il faut commencer par donner les caractéristiques de ce vent pendant toute la durée de la chute de la goutte (et ce n'est sans aucun doute pas une constante) et la suite ne sera pas facile ...

Je pense que je vais laisser le vent de côté encore un petit moment alors. Merci pour tout encore !

Je pense que nous avons fais une erreur en projettant sur (Oz) ne devrions-nous pas plutôt avoir -mg - kv² = m. dv/dt au lieu de mg - kv²=m.dv/dt ??

Non, le poids et la force de frottement sont de sens opposés dans le cas présent. (le poids tente à accélérer la descente et le frottement tente à ralentir la descente).

On a bien : Poids - Force de frottement = m * accélération.

---> mg - kv² = m.dv/dt

Mais si on choisit (Oz) comme étant un axe ascendant, on peut exprimer le poids ainsi : P = -m*g*Uz (ça descend) et les frottements par F = k*v²Uz (ça monte) au final on aura une vitesse "négative" dû à l'orientation de l'axe.