La distance entre le bonhomme et le centre du manège est : d(t) = R - vt
avec R le rayon du manège et v la vitesse de marche du bonhomme (référentiel lié au manège)

Dans un référentiel terrestre (lié aux parents)
Le centre du manège a pour coordonnées (Xc ; Yc)

Avec w la vitesse angulaire du manège :
Le bonhomme est repéré par :

x(t) = Xc + (R-vt).cos(wt + Phi)
y(t) = Yc + (R-vt).sin(wt + Phi)

Avec Phi imposé par la position du bonhomme au bord du manège au moment où il commence à marcher (t=0)

en effet c'est ce que j'ai en correction
mais on nous donnais v(0) et un angle téta
ce que je ne comprends pas c'est l'introduction du temps dans les coordonnées
pourquoi R-vt ??
ah mais si c'est la distance au temps t
nous on a v(0)t c'est donc aussi la distance n'est ce pas ??  
nous on avais utilisé 2 les référentiels e, translation mais finlament ce n'est pas utile pour trouver les coordonnées !
merci je crois que j'ai compris !
ce qui m'avais embrouiller ce st les référentiels qu'on utilisent pasréellement

mais alors a quoi serve ces référentiels en translation ds les exercices ???

Dans le cas présent, les référentiels (l'un lié à l'enfant et l'autre aux parents) ne sont pas en translation l'un par rapport à l'autre.
Ici, il y a rotation, c'est fondamentalement différent.

ah ils sont  en rotation ! c'est vrai, je n'avais pas fait attention ...
donc il n'y a rien qui lui les 2 référentiels ?

au fait
si v n'était pas constante ça ne changerai rien au problème pour trouver les coordonnées ?

si la vitesse varie il y a un problème pour calculer les coordonnées non ?

Si la vitesse du bonhomme varie, il faur remplacer le "v.t" de l'expression par la distance réellement parcourue par le bonhomme sur la durée t (dans le référentiel lié à l'enfant).

Si le mouvement du bonhomme sur le manège est, par exemple, rectiligne uniformément accéléré d'accélération a, il faut remplacer le "vt" par "at²/2 dans l'expression.

d'accord
et donc at^2 /2 est la distance parcouru au temps t
on l'obtient en intégrant 2 fois par le temps ?