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Recherches d'extremums

Posté par waterploof (invité) 04-01-07 à 15:23

L'impedance d'un circuit comportant en serie un resistor de resistance R ohms, une bobine d'inductance L henrys et de resistance pratiquement nulle, un condensateur de capacité C farads est donnée par Z = (R²+(Lw-(1/Cw))²) ou W est la pulsation du courant alternatif qui traverse le circuit (R, L, C sont trois nombres positifs)
1/ Etudier les variations de la fonction F definie par :
    ]0;+[
    wZ
2/Pour quelle valeur de w l'inpedance Z est-elle minimale?
3/Determiner en fonction de R cette valeure minimale

Voila je sujet mais je ne comprends pas ce qu'il faut faire, car il n'y a aucune donnée numérique. Cet exercice se trouve dans le chapitre des primitives.

Merci de m'aider et de me mettre sur la voies pour repondre à ces questions.
Bonne journée à vous.

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 21:24

Bon je vais mettre là où je suis

1° alors on a Z(w)=R²+(Lw-\frac{1}{Cw})²)

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 21:44

Z(\omega)=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}\Rightarrow Z'(\omega)=\frac{(L\omega-\frac{1}{C\omega})(L+\frac{1}{C\omega^2})}{\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2} \\

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 21:47

Ainsi pour étudier les variations de Z en fonction de \omega, il suffit d'étudier le signe de LC\omega^2-1

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 21:56

On a LC\omega^2-1=(\sqrt{LC}\omega+1)(\sqrt{LC}\omega-1)
L'extremum correspond à LC\omega^2-1=0   càd à   \omega=\frac{1}{\sqrt{LC} \\

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 22:03

\omega>0 Ainsi pour 0<\omega<\frac{1}{\sqrt{LC}} on a, Z'(\omega)>0 et pour \frac{1}{\sqrt{LC}}<\omegaon a, Z'(\omega)<0

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 22:09

D'où, Z est décroissante pour 0<\omega<\frac{1}{\sqrt{LC} et croissante pour \omega>\frac{1}{\sqrt{LC}


PS: dans le post précédent j'ai inversé, quand Z'(\omega) est supérieur ou inférieur à 0, c'est pour celà je tiens à demander des développeurs de ce fabuleux forum d'ajouter les options qui permettent d'éditer son message, ou alors de le supprimer carrément, car à chaque fois que je veux faire aperçu, je me plante et je poste le message

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 22:10

Alors Z admet un minimum pour \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 22:16

Pour écire Z_{min} en fonction de R pour, il suffit de reécrire Z en remplaçant \omega par \frac{1}{\sqrt{LC}}

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 04-01-07 à 22:20

Enfin j'ai mis cet exercice dans la catégorie physiquement même s'il est purement mathématique vue que cela aurait pu mélanger un matheux (ou un mathématicien).
Vous pouvez toutefois continuer à commenter mon exo, au cas où j'ai fait une erreur quelque part
Merci à vous

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 05-01-07 à 01:08

rectification de ce quia  été posté le 04/01/2007 à 22:03

Ce que j'aurai dû écire c'est :

Ainsi pour 0<\omega<\frac{1}{\sqrt{LC}} on a, Z'(\omega)<0 et pour \omega>\frac{1}{\sqrt{LC}} on a, Z'(\omega)>0

Posté par
ManueRevare : Recherches d'extremums 05-01-07 à 11:44

Bonjour,

tu as quasiment tout fait ...
tu as trouvé un minimum \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
tu dis que le minimum Z_{min} est trouvé en faisant Z_{min}=Z\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) .. et bien fais-le et tu verras que tu n'obtiendras un résultat ne dépendant que de R.
Et même, sauf erreur, tu trouveras que Z=R.
Indication : à un moment, il faut simplifier en mettant au même dénominateur.

Sauf erreur,
bon courage,

Manuereva

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 07-01-07 à 19:32

On a,
Z(\omega)=\sqrt{R^2+(L\omega-\frac{1}{C\omega})^2}
Ainsi,
Z(\frac{1}{\sqrt{LC}})=\sqrt{R^2+(\frac{L}{\sqrt{LC}}-\frac{\sqrt{LC}}{C})^2}
D'où,
Z(\frac{1}{\sqrt{LC}})=\sqrt{R^2+(\frac{LC}{C\sqrt{LC}}-\frac{LC}{C\sqrt{LC}})^2}
On obtient,
Z(\frac{1}{\sqrt{LC}})=\sqrt{R^2}
Et ainsi,
Z_{min}=R



Merci ManueReva

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 07-01-07 à 20:09

Bon voilà, j'en profite pour présenter les variations de Z(\omega)

\begin{tabular}{|c|ccccccc||}\omega&-\infty&&0&&\frac{1}{\sqrt{LC}}&&+\infty \\ \\{Z'(\omega)}&&indefinie&||&-&0&+& \\ \\{Z}&&indefinie&||&\searrow&R&\nearrow&\\\end{tabular}

Posté par
ManueRevare : Recherches d'extremums 07-01-07 à 20:56

Voilou . Si tu veux être "mathématiquement correct", il faut dire que R>0 pour dire que R²=R.
De rien.

Posté par waterploof (invité)re : Recherches d'extremums 07-01-07 à 21:46

Citation :
posté par : ManueReva
Voilou . Si tu veux être "mathématiquement correct", il faut dire que R>0 pour dire que \sqrt{R^2}=R.
De rien.



Bien entendu, \sqrt{R^2}=|R| (à noter que, \sqrt{R}^2=R)
Dans des niveaux supérieurs on parle de résistance négative (qu'on peut faire par différents circuits électronique).
Mais à mon niveau, R est toujours positive, donc je n'ai pas voulu m'embrouiller avec cette règle mathématique.
Merci encore pour ton commentaire


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