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Réactions d'appui
Bonsoir tout le monde,
J'aurais besoin d'un coup de main svp pour résoudre cette exercice ... J'ai déjà commencé la question 1 , toutefois je bloque pour le reste. je vous remercie d'avance.
voici l'exercice :
Une plateforme horizontale est supportée par trois piliers verticaux en trois points A,B et C situés au sommets d'un triangle équilatéral.
Sur cette plateforme sont appliquées deux charges verticales P et P' dont les points d'application S et S' sont situés sur une même droite passant par le centre de gravité du triangle ABC, et faisant un angle téta avec la direction OA orienté positivement de 0 vers A, S et S' étant situés de part et d'autre du point 0 à des distances respectives b et b' de ce point.
on fera par ailleurs OA=OB=OC=a
1) Calculer en fonction de ces données les réactions des piliers en A, B et C dues à l'ensemble de ces deux forces
2) b et b' étant constants, on fait varier l'angle téta de 0 à 2π, étudier la variation de la réaction du pilier A en fonction de téta et déterminer les valeurs de téta correspondant, au minimum et au maximum de la réaction en A, ainsi que les valeurs de cette réaction. "
Nous prendrons pour axes-coordonnées les axes orientés orthogonaux x'x et y'y passant respectivement par O et B et C dans le plan de la plateforme et l'axe z'z perpendiculaire en O' à ce plan.
Les réactions d'appui sont au nombre de 3 et perpendiculaires au plan xOy en A,B et C.
Les équations d'équilibre dans l'espace sont au nombre de 6, mais on remarque que les équations de projection sur les axes Ox et Oy donnent O=O du fait de la direction des réactions, elles sont donc à éliminer.
De plus, les réactions étant parallèles à l'axe Oz, leurs moments par rapport à cet axe sont nuls. Cette équation est donc aussi à éliminer.
Il reste 3 équations pour déterminer les 3 réactions : le système devient du coup isostatique.
1/Equation de projection sur l'axe z'z :
Soit les réactions RA, RB et RC (sens positif de bas en haut) , On a :
RA+RB+RC- P-P'=0 (1) (P et P' pris en valeur absolue)
2/Equation des moments par rapport à l'axe x'x :
(le moment de RA est nul)
-RB.(a.racine(3))/2 + RC.(a.racine(3))/2 +P.b.sin(teta)-P'.b'.sin(teta) =0 (2)
3/Equation des moments par rapport à l'axe yy' :
(les moments de RB et RC sont nuls)
RA.3a/2 -P.(b.cos(teta)+a/2)+P'.(b'.cos(teta)+a/2)=0 (3)
...désolée il manque la suite:
RA.3a/2 -P.(b.cos(teta)+a/2)+P'.(b'.cos(teta)+a/2)=0 (3)
donc
RB= (P.P')/3 + ((P.b)/3a).(racine carrée (3).sin (téta))+ ((P'b')/3a).(cos(téta)-racine carré(3).sin(téta)
RC= (P+P')/3 + ((P'b'-P.b)/3a) . (cos(téta)+racine carré(3).sin (téta))
Bonsoir
Désolé d'intervenir aussi tard. Je crois que tu t'en sors bien même si l'écriture des formules n'est pas toujours très adroite. Selon mes calculs :
Pas de problème concernant l'homogénéité des formules. Concernant leur réalisme, on peut d'abord vérifier que la somme des trois réactions est bien égale à la somme des deux poids. Un peu plus subtil : le cas particulier correspond à un centre de gravité des deux charges confondu avec le centre de gravité O du triangle. Dans ce cas particulier, on obtient bien trois réactions égales au tiers du poids total.
Pour , l'expression de RA fait intervenir un simple cosinus. Les extremums de RA correspondent donc à
et à
, résultat assez intuitif. La nature (maximum ou minimum) de ces extremums de RA dépend du signe de
. On peut aussi remarquer que pour ces deux extremums de RA :
...
bonjour Vanoise...je te remercie pour la réponse...pas de soucis .. c'est la période des vacances
....et à vrai dire ce n'est pas toujours valable la citation "Les vacances c'est la période qui permet aux employés de se souvenir que les affaires peuvent continuer sans eux" ......
....R_{B}=R_{C} résultat évident par suite de la symétrie par rapport à x'x
quant aux valeurs maximale er minimale de RA lorsque Téta varie:
On a :
dRA/d téta = - ( ( P+P'/3)+2(P.b-P'.b')/3a) ) sin Téta
dRA /d téta =0 pour Téta=0 , téta=π et téta=2π
dRA /d téta<0 pour 0<teta< π
dRA /d téta>0 pour 2π>teta> π
RA est donc minimum pour teta=π , soit RA= (P+P'))/3) - 2(P.b-P'.b')/3a
RA est maximum pour teta=0 , soit RA= (P+P'))/3) + 2(P.b-P'.b')/3a
Juste une remarque supplémentaire à propos du réalisme des formules. Il peut être intéressant de remarquer que les expressions de RB et RC se déduisent simplement de celle de RA en remplaçant par
:
Je te laisse éventuellement le justifier...
Bonjour nano21
Curieux : ton post de 13h04 n'était va visible sur mon pc lorsque j'ai commencé à rédiger mon message précédent...
D'accord avec ce que tu as écrit sous réserve de l'inégalité : P.b > P'.b' ; Pour P.b<P'.b' il faudrait permuter les termes maximum et minimum.
Voici, pour illustrer ce qui précède, les trois courbes représentant les variations en fonction de 
des trois réactions (RA en rouge). On voit clairement qu'à un extremum de l'une correspond l'égalité des deux autres, comme tu l'as très bien dit, par raison de symétrie...
J'ai posté trop vite ! Pour les courbes, j'ai choisi arbitrairement :
P=4000N ; P'=2000N ; b=a ; b'=0.75a ;
Il s'agit d'une situation telle que P.b>P'.b'
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