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Reaction succesive

Posté par
alicia062 04-10-13 à 17:47

Bonjour !

Alors voilà  il y a un point que je n'ai pas compris , ce n'est pas facile à expliquer car cela est assez abstrait mais je vais essayer d'être le plus claire possible.

On a une réaction successive
ABC
Avec k1 la constante de vitesse de AB  Et k2 de BC
J'appelle x ,y , z , les concentrations respectives de A,B,C  et a=[A]à t=0
On souhaite déterminer l'expression de la concentration de B (y)
En écrivant les lois de vitesses on obtient l'équation différentielle suivante (il n'est pas nécessaire que je détail l'établissement de cette équation mais je suis certaine que c'est la bonne)
dy/dt+k2y=k1*a*e(-k1t)
Pour résoudre cette équation on utilise donc le fameux

SGASM=SGSSM+SPASM

Pour le SGSSM c'est bon on trouve y1=Ae(-k2t)
Par contre pour le SPASM j'ai un probleme
Normalement pour trouver la SPASM  on pose que les derives s'annulent et donc on obtient k2y2=k1*a*e(-k1t)  d'ou y2=(k1/k2)*a*e(-k1t)
Mais dans les livres il est indique que y2=(k1/(k2-k1)) *e(-k1t)

Je ne comprend comment ils trouvent cette SPASM
Alors que dans les autres problemes (mécaniques par exemple ou electricité)
On  a toujours posé que les derives s'annulent pour trouver le SPASM

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Je  ne sais pas si j'ai été assez claire du moins je l'espere !!

Posté par re : Reaction succesive 05-10-13 à 14:21

Hey !

$\Large y'+k_2y=ak_1e^{-k_1t}$

=>Homogène :
$\Large y'+k_2y=0$
donne
$\Large \frac{dy}{y}=-k_2 dt \\ ln(y)=-k_2 t +c \\ y_h(t)=Ce^{-k_2t}$

=>Inhomogène :

On prend $y_h(t)$ en supposant $C=f(t)$ (méthode de la variation de la constante).

$\Large y_p(t)=C(t)e^{-k_2t}$

Donc

$\Large \frac{dy_p}{dt}=C'(t)e^{-k_2t}-k_2C(t)e^{-k_1t}$

On injecte dans l'équation différentielle :

$\Large C'(t)e^{-k_2t}-k_2C(t)e^{-k_2t}+k_2 \times C(t)e^{-k_2t} = ak_1e^{-k_1t} \\ \\ C'(t)e^{-k_2t}=ak_1e^{-k_1t} \\ \\ C'(t)=\frac{ak_1e^{-k_1t}}{e^{-k_2t}}=ak_1e^{(k_2-k_1)t}$

ainsi

$\Large C(t)=\int_0^t ak_1e^{t(k_2-k1)} dt = a\frac{k_1}{k_2-k_1}e^{(k_2-k_1)t}$

Ce qui nous donne :

$\Large y_p(t)= a\frac{k_1}{k_2-k_1}e^{(k_2-k_1)t} \times e^{-k_2t}= a\frac{k_1}{k_2-k_1}e^{-k_1t}$

Conclusion :

$7$ y(t)=Ce^{-k_2t}+a\frac{k_1}{k_2-k_1}e^{-k_1t}$

Posté par re : Reaction succesive 05-10-13 à 14:22

le 7 tout à la fin est une erreur du code* :3

Posté par re : Reaction succesive 05-10-13 à 17:33

Tu as trouvé ?

De façon plus générale, une équation du type :

$\large \frac{dy}{dt}=Ay+f(t) (E)$

Se compose d'un terme homogène et d'un terme inhomogène : $f(t)$ . Il faut alors, résoudre de façon séparées :

-l'équation différentielle homogène :

$\large \frac{dy}{dt}=Ay (1)$

-l'équation différentielle inhomogène.

La solution de $(1)$ est de la forme :

$\large y_{sh}(t)=Ce^{At}$

où C est une constante arbitraire déterminée par les CI.
Ensuite, on fait la variation de la constante, et la solution homogène se réécrit :

$\large y_{sp}(t)=C(t)e^{At} (2)$

On exprime alors $y'_{sp}(t)$ ; et on injecte $y'_{sp}(t)$ et $y_{sp}(t)$ dans l'équation $(E)$ . Tous les termes en $C(t)$ doivent disparaître. S'il subsiste du $C(t)$ à la fin, alors il y a une erreur de calcul !

Lors que l'on a trouvé l'expression de $C'(t)$ , on intègre et on injecte le résultat dans $(2)$ . On a trouvé $y_{sp}(t)$ (qui ne dépend pas des CI).

La formule pour une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants du type :

$\large \frac{dy}{dt}=Ay+f(t) (E)$

est la suivant :

$\Large y(t)=Ce^{At}+\int_0^{t}{f(t)e^{A(t-\tau)}}d\tau}$

Posté par re : Reaction succesive 05-10-13 à 17:35

cette dernière formule n'est pas à apprendre ni à connaitre, mais la méthode est à savoir par coeur si tu veux faire des études scientifiques

Bonne fin de week end !

Posté par re : Reaction succesive 06-10-13 à 18:02

Merciii beaucoup !!

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