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Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espagne

Posté par
cercus 25-03-19 à 19:11

Bonjour, je bloque sur un problème : je pense que mon raisonnement est juste mais je n'obtiens pas un résultat cohérent. Voici l'énoncé :

Un agriculteur se plaint que ses oranges gèlent certains nuits. En effet, si l'orange gèle, il doit la jeter. L'agriculteur met des thermomètres de partout et constate que la température minimal est de T_air = 4°C (277 K). En formulant des hypothèses convenables, aider l'agriculteur en trouvant pourquoi ses oranges gèlent la nuit. On ne prendra en compte que les oranges situé en haut de l'arbre.

Ce que j'ai fais :

Hypothèses :

-> Régime stationnaire car on suppose la nuit assez longue
-> Aucun nuage et pas de vent
-> L'orange est sphérique et est considéré comme homogène et principalement composé d'eau
-> Pas de conduction (le pétiole se ferme durant la nuit)
-> Présence de convection autour de l'orange qui chauffe l'orange
-> Présence de rayonnement issus du Fond Diffus Cosmologique

Bilan sur l'orange :

$\Phi_{convection} + \Phi_{rayonnement} = 0$

Avec $\Phi_{convection} = h*S(T_{o}-T_{air})$ et $\Phi_{rayonnement} = \epsilon_{0}*F_{1-2} *S*\sigma *(T_{0}^4 - T_{FDC}^4)$

On a donc $h(T_{o}-T_{air}) + \epsilon_{0}*F_{1-2} *\sigma *(T_{0}^4 - T_{FDC}^4) = 0$

Il faut déterminer h :

On est en convection naturelle car le nombre de Richardson tend vers l'infini. On a : $Gr = \frac{g*\beta *L^3 *(T_0 - T_{air})}{\nu^2}$ et Pr = 0,71

Il faut choisir une corrélation afin de trouver le Nusselt. Celle que j'ai retenue est la suivante :
$Nu = 2+ \frac{0,589*(Gr*Pr)^{1/4}}{(1+(\frac{0,43}{Pr})^{9/16})^{4/9}}$

On a donc que $h = [2+ \frac{0,589*(Gr*Pr)^{1/4}}{(1+(\frac{0,43}{Pr})^{9/16})^{4/9}}]*\frac{\lambda}{L}$

En remplaçant dans le bilan sur le flux, on trouve :

$[2+ \frac{0,589*(Gr*Pr)^{1/4}}{(1+(\frac{0,43}{Pr})^{9/16})^{4/9}}]*\frac{\lambda}{L}*(T_0 - T_{air}) + \epsilon_{0}*F_{1-2} *\sigma *(T_{0}^4 - T_{FDC}^4) = 0$ (1)

Application numérique : On ne peut pas résoudre cette équation d'inconnue T₀, on s'aide donc d'un graphique. Voici les valeurs que j'ai retenus. J'ai utilisé le langage de programmation Python :

₀= 0.92
F_1-2 = 0.5
T_air = 277 K
T_FDC = 3 K
beta = 1/T_air K^-1
L = 0.07 m
nu = 1.5*10**-5 m²/s
g = 9.81 m²/s
= 0.6 W.m^1.K^-1
Pr = 0.71
sigma = 5.67*10**-8 SI

J'ai ensuite entré l'équation (1) dans Python puis tracé le graphique de cette fonction, mais sur le graphique qu'il m'affiche, la fonction (1) ne passe jamais par 0, donc pas de solution. Je ne comprends pas d'ou vient mon erreur.

En bonus, voici le code Python utilisé :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#===== Définition des constantes du problème (en SI )=====#

emissivite = 0.92
F_12 = 0.5
T_air = 277
T_FDC = 3
beta = 1/T_air
L = 0.07
nu = 1.5*10**-5
g = 9.81
lambda_eau = 0.6
Pr = 0.71
sigma = 5.67*10**-8

#===== Tracé du graphique =====#

x = np.linspace(0,500,1000)

y = (lambda_eau/L)*(2+((0.589*Pr**(1/4))/((1+(0.469/Pr)**(9/16))**(4/9)))*(((g*beta*L**3)/(nu**2))**1/4)*(x-T_air)**1/4)*(x-T_air) + emissivite*F_12*sigma*(x**4 - T_FDC**4)

plt.plot(x,y)
plt.grid()
plt.show()

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 25-03-19 à 19:40

Bonsoir

Deux points de ton messages me gênent un peu :

$\Phi_{convection}+\Phi_{rayonnement}=0$

Cela va te mener à une température fixe de l'orange. Pourquoi ne pas poser plus généralement :

$\Phi_{convection}+\Phi_{rayonnement}=-m_{orange}.c_{orange}.\frac{dT_{o}}{dt} ?$

J'utilise un signe « - » puisque apparemment le sens positif des transferts thermique est le sens sortant de l'orange. Cela te permettra d'étudier les variations de la température de l'orange au cours de la nuit...

Évidemment tu peux te contenter d'étudier la température d'équilibre et voir si elle est inférieure à 273,15K...

Logiquement, ton équation devrait admettre une solution correspondant à une température inférieure à 277K : la puissance rayonnée est toujours une puissance perdue par l'orange : pour obtenir un équilibre thermique, l'orange doit recevoir de la puissance thermique par convection. Un simple programme de résolution numérique d'équation, disponible sur n'importe quelle calculatrice scientifique devrait te fournir une solution ; au pire : programme une dichotomie...

Je fais le calcul de mon côté et te fais signe...

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 25-03-19 à 20:59

Avec une correlation différente : $Nu = 0,52*(Gr*Pr)^{1/4}$ et en appliquant l'algorithme de dichotomie, je trouve une température de 272,99 K soit très légerement en dessous de 273,15 K

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 26-03-19 à 07:10

Petite erreur de ma part, avec les 2 corrélations, j'obtiens bien un graphe qui passe par 0 et quand j'applique l'algorithme de dichotomie, je trouve une racine a T₀ = 276,8 K... Soit au dessus de 273 K...

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 26-03-19 à 19:22

J'ai repris ta première modélisation ; avec Tair=277,15K, j'obtiens une température d'équilibre en surface égale à : 275,3K.
Il ne s'agit que d'une modélisation : peut-être la perte par rayonnement est-elle un peu sous-estimée car ce phénomène est bien connu des agriculteurs.

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 26-03-19 à 23:39

Je viens de reprendre pas à pas ton raisonnement. Concernant le nombre de Nusselt, certains documents font figurer pour la sphère un "0,469" au lieu du "0,43" que tu as utilisé mais cela ne change pratiquement rien au résultat.
En revanche, je m'étonne de la valeur que tu as donnée à F₁₂. Le rayonnement reçue du fond du ciel n'est reçue que par une hémisphère mais l'orange rayonne dans toutes les directions par la totalité de sa surface.
En remplaçant $\epsilon_{0}*F_{1-2}*\sigma*(T_{0}^{4}-T_{FDC}^{4})$ par :
$\epsilon_{0}*\sigma*(T_{0}^{4}-0.5*T_{FDC}^{4})$ , on obtient une température d'équilibre de 273,8K avec T_air=277.15K
L'orange gèle pour T_air<276,5K selon ce modèle.

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 27-03-19 à 07:28

Justement on en a discuter avec le prof et il nous a montrer "avec les mains" que F_12 tendait vers 1/2 en utilisant la méthode de Monte-Carlo.

Aussi, ce que je comprend pas c'est qu'on trouve une température de 273,8 K mais le therme To -T_air est négatif donc élever a la puissance 5/4 ne peut exister... (Racine carre négatif)

Le 0.5 devant le T_FDC viens de la moitié de l'orange ?

Pour trouver 273,8K, vous avez utilisé quel type d'algorithme ?

Posté par re : Rayonnement Thermique - Orange gelé dans le désert en Espag 27-03-19 à 11:52

Le sens positif du transfert thermique est le sens sortant : $\Phi_{convection}=h*S(T_{o}-T_{air})$ ;

Dans cette étude, l'air est plus chaud que l'orange : $\Phi_{convection}<0$ : celle ci reçoit de l'air une puissance thermique qui compense la puissance perdue par rayonnement. $\Phi_{convection}$ est une valeur algébrique mais « h » est une grandeur toujours positive. Cela conduit à considérer la valeur absolue de l'écart de température dans l'expression du nombre de Grashof :

$Gr=\frac{g*\beta*L^{3}*|T-T_{air}|}{\nu^{2}}$

Effectivement, j'ai considéré que , statistiquement, le rayonnement du « fond du ciel » n'est reçue que par la moitié de la surface de l'orange. En revanche, l'orange rayonne à travers la totalité de sa surface... Ce type de raisonnement est assez classique dans l'évaluation de la température de la terre : en bonne approximation, on considère que celle-ci rayonne à travers la totalité de sa surface mais on considère que le rayonnement solaire n'est reçue que par la moitié de la surface...

Pour les calculs, j'utilise le logiciel de calcul formel « Maple ». La valeur To=273,8K a été obtenue avec une émissivité de 0,96, plus proche de celle de l'eau. En conservant la valeur de 0,92, pour T_air=277,15K, on obtient :
To=273,9K.

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