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Rayon de courbure, repéré de Frenet

Posté par Profil Evoria 26-01-20 à 19:21

Bonjour, je suis sur une question depuis pas mal de temps et je bloque.

Exprimer la vitesse et l'accélération dans le repére de frenet et retrouvez ensuite le rayon de courbure R de la trajectoire sous la forme :

R= [(V0^2+g^2.t^2)^3/2]/gV0

Pour le moment j'ai les relation suivante :

vecteur a= (dV/dt) . vecteur T + (V^2/R) .vecteur N

vecteur V = V.vecteur T

Et V= racine (V0^2+g^2.t^2)

Merci d'avance.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 19:38

Bonsoir
Une fois déterminées la vitesse et l'accélération, on peut obtenir l'accélération tangentielle. Par différence on obtiens l'accélération normale. On obtient au final le rayon de courbure r par la relation que tu as déjà écrite :
an=v2/r
Pour t'aider plus, il faudrait un énoncé complet.

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 19:55

À partir de cette énoncé, on doit pouvoir isoler R, mais en l'isolant je ne trouve pas la même chose. Merci de me montrer la méthode.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 20:20

Ton énoncé est incomplet.  Quel est la nature du mouvement  ? Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme peut-être... Et les conditions initiales  ?

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 20:23

Mouvement dans le champ de pesanteur, et condition initiale : V0 en dans la composante x et lancé depuis une hauteur h. On parle d'une pierre.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 20:45

Citation :
Mouvement dans le champ de pesanteur, et condition initiale : V0 en dans la composante x et lancé depuis une hauteur h.

OK. Tu peux donc appliquer la méthode que je t'ai fournie dans mon premier message.
Ton expression de la norme du vecteur vitesse est correcte. Quelle est ton expression du vecteur unitaire \vec T puis celle du vecteur accélération tangentielle ?

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 20:48

Justement c'est ça que je ne sais pas faire, je suis bloquer.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:00

\overrightarrow{T}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:01

Oui ok pour la formule mais je dois démontrer ce que je t'ai mit dans mon premier message, et avec ça je demontre pas ce que je veux.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:28

Quelle est ton expression de l'accélération tangentielle  ?

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:30

Mais je n'en sais rien, c'est pour cela que je suis la. Je veux juste démontrer la formule plus haut.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:42

Obtenir la formule que tu cherches ne se fait pas en une ligne  ! Il faut suivre toutes les étapes que je t'ai indiquées.
Quand je te demande d'exprimer le vecteur unitaire T puis la norme du vecteur accélération tangentielle, je ne suis pas " hors sujet " !

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:52

Oui mais je ne sais pas faire, et c'est pareil pour N, je ne sais pas faire. Donne moi la méthode.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:56

Mon message de 21h ????
Tu as écrit toutes les formules utiles  mais il faut les utiliser dans le bon ordre. Et cet ordre  : je te l'ai indiqué.

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 21:57

Et pour N ?

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 22:07

Tu peux obtenir l'expression du rayon de courbure sans expliciter le vecteur unitaire N. Comme déjà dit le vecteur accélération normal est la différence entre le vecteur accélération  (le vecteur g) et le vecteur accélération  tangentielle.  Commence donc par l'accélération tangentielle.  Poste ton résultat pour que je puisse vérifier...

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 22:11

a= dV/dt. vecteur V/V

Je comprend rien. Désolé mais c'est pas claire.

Posté par
vanoisere : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 22:34

Une chose est claire en tout cas : ta connaissance du cours est à approfondir ! Je veux bien t'aider pour l'accélération tangentielle puis tu termineras par toi même.

\overrightarrow{V}=g.t.\overrightarrow{u_{y}}+v_{o}.\overrightarrow{u_{x}}

\overrightarrow{T}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}=\dfrac{g.t.\overrightarrow{u_{y}}+v_{o}.\overrightarrow{u_{x}}}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}}

Pour la norme de l'accélération tangentielle, tu peut dériver la norme du vecteur vitesse par rapport à t ou, plus simplement, écrire que cette norme est le projeté orthogonal du vecteur accélération (\overrightarrow{a}=g.\overrightarrow{u_{y}}) suivant la tangente à la trajectoire :
\\ \Vert\overrightarrow{a_{T}}\Vert=g.\overrightarrow{u_{y}}.\overrightarrow{T}=\dfrac{g^{2}.t}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}}

\overrightarrow{a_{T}}=\dfrac{g^{2}.t}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}}\cdot\dfrac{g.t.\overrightarrow{u_{y}}+v_{o}.\overrightarrow{u_{x}}}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}} \\ \\ \overrightarrow{a_{N}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a_{T}}=g.\overrightarrow{u_{y}}-\dfrac{g^{2}.t}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}}\cdot\dfrac{g.t.\overrightarrow{u_{y}}+v_{o}.\overrightarrow{u_{x}}}{\sqrt{g^{2}.t^{2}+v_{o}^{2}}}

Évidemment : tout cela se simplifie très fortement... Je te laisse du travail à faire... Pour finir :

\Vert\overrightarrow{a_{N}}\Vert=\dfrac{\Vert\overrightarrow{V}\Vert^{2}}{R}

Cela conduit bien au résultat que tu as indiqué dans ton premier message.

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 26-01-20 à 22:38

Je comprend rien ce que tu fais, et ça ne répond en aucun cas à ce que j'ai demandé, je ne vois nul par le rayon de courbure.

Posté par
gbm Webmasterre : Rayon de courbure, repéré de Frenet 27-01-20 à 08:17

Bonjour à vous deux,

@Evoria : je te saurai gré d'être un peu plus constructif(ve) dans ton échange avec vanoise, qui t'a déjà fourni une aide précieuse ...

Tu as déjà été mis(e) sur la voie, avec un rappel des principales formules du cours, à toi de poursuivre les calculs plutôt que de sembler attendre qu'on les fasse à ta place.

Je te rappelle que ces notions font partie de ton cours de mathématiques sur les courbes paramétrées, en cas de doute, tu as des ressources sur le net pour réviser :

Posté par Profil Evoriare : Rayon de courbure, repéré de Frenet 27-01-20 à 08:19

Cela ne fait pas partie de mon cours de maths...

Posté par
gbm Webmasterre : Rayon de courbure, repéré de Frenet 27-01-20 à 08:50

Dans ce cas, c'est que ton cours de physique ou l'énoncé de l'exercice fournit davantage d'informations car ça ne s'invente pas.

Je te conseille de terminer les calculs proposés par vanoise sur les accélérations normales et tangentielles.

En effet, le lien fournit te montre qu'il existe une relation entre eux et le rayon de courbure.

Je vous laisse poursuivre, bonne journée

Posté par
diracre : Rayon de courbure, repéré de Frenet 27-01-20 à 18:26

Pendant qu'Evoria potasse (@Evoria, interdiction de lire les lignes qui suivent tant que 1/ tu n'as pas suivi SCRUPULEUSEMENT les étapes de raisonnement proposées par vanoise et 2/ tu n'a pas compris qu'ELLES REPONDENT EXACTEMENT A CE QUE TU AS DEMANDE, après on verra à enrichir ta "boîte à outils" )

Bonjour vanoise, bonjour gbm, variante de solution, qui utilise différemment les 2 repères:

\vec{a} = g.\vec{u}_y

\vec{T} = \frac{1}{V}.\vec{V} = \frac{1}{V}(v_0.\vec{u}_x+gt.\vec{u}_y)

Rotation de /2:  \vec{N} = \frac{1}{V}(-gt.\vec{u}_x+v_0.\vec{u}_y)

Considération d'algèbre linéaire (?): on passe de (\vec{u}_x, \vec{u}_y)   à   (\vec{T}, \vec{N}) par une rotation associée à +t, on passe donc de  (\vec{T}, \vec{N})  à  (\vec{u}_x, \vec{u}_y)  par une rotation associée à -t

Donc \vec{u}_y = \frac{1}{V}(+gt.\vec{T}_x+v_0.\vec{N})

Donc \vec{a} = \frac{g}{V}(+gt.\vec{T}_x+v_0.\vec{N})

Donc a_N = \frac{V^2}{R} = \frac{gv_0}{V}  ...    on y est

(résolution 2020: varier les plaisirs ... aucune prétention cependant)


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