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Rapport d'énergie

Posté par
Ariel60 25-01-18 à 13:31

Bonjour,
On me demande d'exprimer un rapport d'énergie mais j'ai un peu de mal avec les approximations dans ce problème:
Un photon de basse énergie entre en collision avec un électron au repos.Après le choc,le photon est rétrodiffusé.
En supposant que l'énergie du photon est très petite devant celle de l'électron au repos,montrer que le rapport entre l'énergie du photon rétrodiffusé et l'énergie cinétique acquise par l'électron est approximativement c/v, où c est la vitesse de la lumière et v la vitesse de l'électron.

J'écris l'expression de l'énergie du photon après le choc $E_{ph'}=h\mu$ et l'énergie cinétique de l'électron $Ec=\frac{1}{2}mv^2$
J'exprime d'abord le rapport: $\frac{E_{ph'}}{Ec}=\frac{2h\mu'}{mv^2}$
Ensuite je cherche l'expression de mu' d'après la relation de Compton $\lambda'-\lambda=(1-cos\theta) \frac{h}{mc}$
avec $\theta=\pi$
$\lambda'=\frac{2h}{mc}+\lambda=\frac{2h\mu+mc^2}{\mu mc}$ (l'expression de lambda étant $\lambda=\frac{c}{\mu}$ et $\lambda'=\frac{c}{\mu'}$
donc $\mu'=\frac{\mu mc}{2h\mu+mc^2}$
$\frac{E_{ph'}}{Ec}=\frac{2h(\mu mc)}{(mv^2)(2h\mu+mc^2)}$
$\frac{E_{ph'}}{Ec}=\frac{2h\mu c}{v^2[mc^2(1+\frac{2h\mu}{mc^2})]}$
Puisque $h\mu\prec \prec mc^2$ ,je pose $\frac{h\mu}{mc^2}=\epsilon$ (l'énoncé parle de l'énergie du photon mais je pense qu'il s'agit de celle avant le choc..)
$\frac{E_{ph'}}{Ec}=\frac{2\epsilon c}{v^2(1+2 \epsilon)}$
Mais là j'ai toujours un v au carré et des epsilon,comment les éliminer?Ou bien est-ce que j'ai fait une erreur plus haut?
Ma démonstration est nulle,mais bon..je ne vois pas comment faire autrement
Merci encore pour votre aide

Posté par re : Rapport d'énergie 25-01-18 à 16:56

Bonsoir
J'avais fait la remarque dans un message précédent ; un choc élastique conserve l'énergie mais aussi la quantité de mouvement. Que devient ici l'équation traduisant la quantité de mouvement ?

Posté par re : Rapport d'énergie 25-01-18 à 19:04

Bonsoir,
Merci Vanoise pour m'avoir rappelé cela! $\frac{E_ph}{c}=\frac{h\mu'}{c}+\sqrt{2mEc}$ , la quantité de mouvement de l'électron étant nulle avant le choc ,et $Pe=\sqrt{2mEc}$ ,
mais là je trouve encore une expression qui galère un peu $\frac{Eph'}{Ec}=\frac{2c^2 \epsilon-2cv}{v^2}$ ,avec $\frac{h\mu'}{mc^2}= \epsilon$
Cordialement

Posté par re : Rapport d'énergie 25-01-18 à 22:59

Si, conformément à l'énoncé on suppose le photon incident possédant suffisamment peu d'énergie pour que l'électron ait une vitesse après interaction inférieure à c/10, la conservation de l'énergie conduit à :

$h.\nu=h.\nu'+\frac{1}{2}m.v^{2}$

La conservation de la quantité de mouvement, sachant que les trois vecteurs sont colinéaires et qu'il y a rétrodiffusion du photon, conduit à :

$h\frac{\nu}{c}=-h\frac{\nu'}{c}+m.v\quad soit\quad h.\nu=-h.\nu'+m.v.c$

Soustraction “membre à membre" avec la relation de conservation de l'énergie :

$0=-2h.\nu'+mv^{2}.\left(\frac{c}{v}-\frac{1}{2}\right)$

Soit :

$\frac{h\nu'}{\frac{1}{2}m.v^{2}}=\left(\frac{c}{v}-\frac{1}{2}\right)\approx\frac{c}{v}\quad car\quad c\gg v$
Il est étrange que les étudiants (et pas seulement eux ! ) ont des difficultés à mémoriser l'intérêt de la quantité de mouvement pour étudier les collisions...

Posté par re : Rapport d'énergie 26-01-18 à 07:06

Re,
Merci encore infiniment pour la réponse;mais alors dans la relation de conservation de l'énergie on n'a pas négligé l'énergie du photon devant l'énergie au repos de l'électron car $mc^2$ disparait dans l'équation

Posté par re : Rapport d'énergie 26-01-18 à 08:07

Citation :
"En supposant que l'énergie du photon est très petite devant celle de l'électron au repos"

Cela permet de conclure que v < < c , on peut donc négliger les effets relativistes.

v < < c
c/v > > 1
et donc aussi c/v > > 1/2 ... ce qui permet la simplification à la fin du message de vanoise.

Posté par re : Rapport d'énergie 26-01-18 à 10:32

Citation :
Merci encore infiniment pour la réponse;mais alors dans la relation de conservation de l'énergie on n'a pas négligé l'énergie du photon devant l'énergie au repos de l'électron car $mc^2$ disparait dans l'équation

En toute rigueur, la conservation de l'énergie conduit à :

$h.\nu+mc^{2}=h.\nu'+\sqrt{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}\quad ou\quad h.\nu=h.\nu'+\sqrt{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}-mc^{2}$

Si la vitesse de l'électron est faible devant c, pc est petit devant l'énergie de masse , ce qui autorise un développement limité au premier ordre :

$\left(1+x\right)^{\frac{1}{2}}\approx1+\frac{x}{2}\quad si\quad|x|\ll1$

$\sqrt{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}-mc^{2}=mc^{2}.\left[\left(1+\frac{p^{2}c^{2}}{m^{2}c^{4}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]\approx mc^{2}.\left[1+\frac{p^{2}c^{2}}{2m^{2}c^{4}}-1\right]\approx\frac{p^{2}}{2m}\approx\frac{1}{2}m.v^{2}$

On retrouve bien l'expression classique de l'énergie cinétique de l'électron avec p=m.v comme je te l'ai démontré dans un post précédent.

Pour résumer : l'équation de conservation de l'énergie écrite dans mon message précédent est une version simplifiée de l'équation générale écrite ci-dessus, la version simplifiée n'étant valide que pour v<<c.

Posté par re : Rapport d'énergie 26-01-18 à 11:09

Merci beaucoup à vous!

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