Niveau maths spé

Questions sur les ondes électromagnétiques

Posté par
EvDavid 08-04-19 à 14:36

Bonjour,

J'ai travaillé un exercice sur les ondes et j'ai trouvé les réponses du corrigé bien différentes des miennes. En réalité, je n'ai pas trop compris les explications du corrigé.
Voici l'énoncé de l'exercice : On s'intéresse à la propagation d'une impulsion lumineuse dans un fibre optique ne présentant pour toutes les pulsations mises en jeu qu'un seul mode de propagation guidée. Pour simplifier l'étude, on considère un milieu infini où le vecteur d'onde d'une onde plane se propageant dans la direction z est une fonction $\beta (w)$ de la pulsatinon $w$ de l'onde. L'impulsion lumineuse est obtenue à partir d'une source supposée parfaitement monochromatique et de pulsation $w_{0}$ . Cette source, placée en z=0, voit son amplitude modulée par une impulsion de forme gaussienne de sorte que le champ électrique en z=0 est donné par : $E(0,t)=E_{0}.e^{-\frac{t^{2}}{2T^{2}}}.e^{-iw_{0}t}$
Les relations de transformée de Fourier permettent d'écrire : $E(0,t)=\int_{-\infty }^{+\infty }{\tilde{E(0,w)}e^{-iwt}dw}$ où $\tilde{E(0,w)}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{E(0,t)e^{+iwt}dt}$
1) Interpréter la première des deux relations précédentes.
-> Le champ électrique en z=0 est la superposition d'une infinité de signaux harmoniques.
2) Montrer que $\tilde{E(0,w)}=E_{0}\frac{T}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{T^{2}(w-w_{0})^{2}}{2}}$
-> C'est fait grâce à l'expression d'une intégrale qu'ils donnent.
3) Définir la largeur spectrale et la largeur temporelle de la source modulée et trouver la relation qui les lie et la commenter.
-> La largeur spectrale (respectivement lageur temporelle ) est l'intervalle de pulsation $\Delta w$ ( respectivement l'intervalle de temps $\Delta t$ ) tel que pour toute pulsation dans cet intervalle : $\left|\tilde{E(0,w)} \right|^{2}\geq \frac{\left|\tilde{E(0,w_{0})} \right|^{2}}{e}$ ( respectivement pour tout t dans cet intervalle : $\left|E(0,t) \right|^{2}\geq \frac{\left|E(0,0 \right|^{2}}{e}$ )
On trouve $\Delta w=\frac{1}{T}$ et $\Delta t=T$ donc $\Delta t.\Delta w=1$ . L'impulsion étant de très courte durée, elle possède une large étendue spectrale.

4) On utilise le développement $\beta (w)=\beta _{0}+\dot{\beta _{0}}(w-w_{0})+\frac{1}{2}\ddot{\beta _{0}}(w-w_{0})^{2}$ et on trouve l'expression suivante ( le calcul n'est pas demandé ) : $E(z,t)=\frac{T.E_{0}}{\sqrt{T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z}}.exp(\frac{-(t-\dot{\beta _{0}}z)^{2}T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z(t-\dot{\beta _{0}}z)^{2}}{2(T^{4}+(\ddot{\beta _{0}}z)^{2})}).exp(-i(w_{0}t-\beta _{0}z))$
où $\sqrt{T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z}$ désigne le nombre complexe de partie réelle positive dont le carré est $T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z$ .
(a) Quelle est la forme temporelle de l'impulsion lumineuse en z0.
-> J'aimerai dire qu'on a une onde plane qui se propage suivant z, donc dans un plan de phase z=cte non nulle on a atténuation donc la forme est une cloche ... Mais cela n'est pas possible car l'exponnentielle complexe dans notre cas est : $exp(\frac{-i\ddot{\beta _{0}}z(t-\dot{\beta _{0}}z)^{2}}{2(T^{4}+(\ddot{\beta _{0}}z)^{2})}-i(w_{0}t-\beta _{0}z))$
Je ne vois même pas comment avoir la vitesse de phase tellement la phase est complexe. ( sans parler du nombre complexe qui se trouve sous E₀ )

Dans le corrigé ils disent que $E(z,t)=e^{-i(w_{0}t-\beta _{0}z)}\int_{-\infty }^{+\infty }{\tilde{E(0,w)}e^{-i(w-w_{0})[t-\dot{\beta _{0}}z-\frac{1}{2}\ddot{\beta _{0}}(w-w_{0})z]}dw}$
Qui se met, après calculs, sous la forme : $E(z,t)=\frac{T.E_{0}}{\sqrt{T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z}}.exp[-\frac{1}{2}.\frac{(t-\dot{\beta _{0}})^{2}}{T^{2}-i\ddot{\beta _{0}}z}].exp(-i(w_{0}t-\beta _{0}z))$
Expression qui est très différente de celle donnée par l'énoncé...
Un petit complément de la part du correcteur :
On peut admettre qu'un récepteur de flux percevra un signal de la forme : $\Phi _{rec}(z,t)=\frac{K}{2}\left|E(z,t) \right|^{2}=\frac{K}{2}\left|E_{0} \right|^{2}\frac{T}{\sigma (z)}exp(\frac{-(t-\dot{\beta _{0}}z)^{2}}{\sigma (z)^{2}})$
avec $\sigma (z)=T\sqrt{1+(\frac{\ddot{\beta _{0}}z}{T^{2}})^{2}}$
qui est la durée caractéristique du paquet d'onde à la cote z perçue par le récepteur ( Je ne comprends pas pourquoi avoir divisé la constante de proportionnalité par 2 et je ne comprends pas du tout pourquoi (z)est la durée caractéristique du paquet d'onde. J'espère que vous pourrez m'expliquer quel raisonnement nous conduit à ce genre de conclusion )

Et pour revenir à la question, il est dit que l'impulsion se propage à la vitesse de groupe moyenne $\frac{1}{\dot{\beta _{0}}}$
dans la fibre en se déformant ( à cause du $\ddot{\beta _{0}}$ ) et en perdant de son amplitude maximale mais sans perte d'énergie ( le milieu n'est pas absorbant ).

En fait, comme je l'ai dit plus haut. Je ne sais pa comment exploiter la forme du champ telle qu'elle est donnée. La phase est trop complexe à écrire et on peut pas appliquer les raisonnement d'ondes planes progressives monochromatiques.

J'espère que vous pourrez m'aider afin que je développe le raisonnement correct qui permet d'interpréter et d'exploiter ces formes d'onde, ou même quelque chose de plus général encore.

Merci d'avance.

Posté par re : Questions sur les ondes électromagnétiques 09-04-19 à 23:46

Bonsoir,

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Je sais que les expressions sont compliqués à reproduire ou autre mais si possible, qu'on me procure de l'aide même en référant à telle ou telle formule juste par un chiffre.

Merci d'avance.

Posté par re : Questions sur les ondes électromagnétiques 10-04-19 à 12:34

Bonjour
Je suis cette semaine en déplacement avec comme moyen de communication un simple téléphone portable. Je n'ai pas le temps d'étudier en détails un tel problème.
Juste une réponse rapide à ta question sur le coefficient 1/2. Il s'explique sans doute par le fait que la valeur moyenne sur une période du carré d'un sinus ou d'un cosinus vaut 1/2.
Je passe le relais pour le reste.

Posté par re : Questions sur les ondes électromagnétiques 10-04-19 à 14:28

Bonjour,

Je vous remercie pour votre réponse. Vu que le champ électrique qui figure dans le flux dépend du temps, je pensais que cela ne pouvait pas être un sinus car sinon on aurait mis E(z). Peut-être que le correcteur voulait parler qu'en général il y'a du 1/2 qui figure.

Je m'excuse d'être importun. J'attendais effectivement d'autres contributions à part la vôtre.

Merci pour tout.

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