Niveau master

Questions en traitement numérique du signal

Posté par
oreo47 14-12-19 à 23:22

Bonsoir à tous,

Dans le cadre de ma formation, j'ai un cours de traitement numérique du signal.
J'ai eu un petit contrôle que nous n'avons pas corrigé, et j'aimerai pouvoir comprendre mes erreurs.

Voici mon énoncé :

   1. Quel est le type du filtre d'équation récurrente (équation aux différences) $y[k]=x|k]-0,9y[k-1]$ ?
--> Choix possibles : passe-haut, coupe-bande, passe-bas et passe-bande.

Comment procéder pour trouver la nature du filtre ?

   2. Quel est le type de fonction de transfert $H(z)=1+z^{-1}$ ?
--> Choix possibles : passe-bande, coupe-bande, passe-bas, passe-haut.

Là, j'aurai tendance à mettre cette équation sous une forme d'équation aux différences, en utilisant une transformée en $z$ inverse, mais par la suite, que faut-il faire ?

   3. [Cf. figure jointe] Soit un signal bruité (représenté en bleu dans la figure) qu'on veut débruiter (pour obtenir le signal rouge) grâce au filtre suivant : $y[k]=Gx[k]-ay[k-1]$ . Comment choisir $a$ ?
--> Choix possibles : $+0,5 ; -0,5 ; +1 ; -1$ .

Merci pour toutes les indications et explications que vous me fournirez !

Oreo47.

Questions en traitement numérique du signal

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 08:19

Bonjour,

Je ne suis pas un spécialiste des filtres numériques, donc si quelqu'un a une réponse plus précise, il est bienvenu. Je vais donc me ramener à des choses que je connais.

A mon avis, il y a des règles qui permettent de déterminer le type de filtre à l'aide des signes des coefficients. Sans ces règles, on s'intéresse à un filtrage, donc c'est bien H qui nous intéresse et pas l'équation aux différences. On passe en fréquence, à l'aide de la définition de $z=\exp(j \omega T_e)$ , et on en déduit le type de filtre.
Pour le 1, on transforme d'abord l'équation aux différences en fonction de transfert.
Pour le 2, immédiat.
Pour le 3, idem, sauf que d'après l'étude du 1, vous avez déjà la règle du signe (si vous ne l'aviez déjà). Il ne faudra pas oublier l'étude de la stabilité.

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 15:07

Bonjour gts2,

Bien que tu ne sois pas spécialisé sur le sujet, je te remercie pour avoir pris le temps de me lire et d'apporter quelques éléments de réponse.

1. D'après tes indications, je pars de l'expression que j'ai écrite, et j'applique une transformée en $z$ , donc :

$y[k]=x[k]-0,9y[k-1] \Leftrightarrow Y(z)=X(z)-0,9z^{-1}Y(z)$ .

Ainsi, après calcul, il vient pour fonction de transfert : $H(z)=\frac{1}{1+0,9z^{-1}}$ .

Par la suite, je passe dans le domaine fréquentiel, donc $H(e^{j\omega T_{e}})=\frac{1}{1+0,9e^{-j\omega T_{e}}}$ .

Après cela, de manière classique, tu calculerais le gain et la phase pour pouvoir tracer un diagramme de Bode et déterminer la nature du filtre ? Ou tu as une méthode plus rapide ?

2. Du coup, j'imagine qu'il faut également passer en fréquentiel et appliquer la méthode de la question 1.

3. Je n'ai pas bien compris ce qu'il faut faire. Qu'appelles-tu "règle du signe" ?
Je pense que je vais relire mon cours à tête reposée afin d'avoir les idées claires.

Oreo47

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 15:22

Bonjour,

Pour le 1), oui et non : calcul de la norme oui (phase pas nécessaire) et pas nécessairement tracer, il suffit juste de savoir si ce sont les HF ou BF qui passent.
Je n'ai pas de méthode rapide parce que je ne connais pas trop.

Pour le 2) OK

Pour le 3), pour récupérer le signal rouge, quel type de filtre est-il nécessaire ?
D'après l'étude du 1), tu as vu que le signe de a dans 1/(1+a z^-1) conditionne le type de filtre. Donc cela permet d'éliminer 2 cas sur 4, et la stabilité (cf. pôle) permet de choisir entre les deux restants.

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 22:10

Bonsoir gts2,

1. Après étude, j'en ai déduit que j'ai affaire à un filtre passe-haut.

Mon raisonnement (pas sûr) est le suivant. Si ce n'est pas parfait, n'hésite pas à me corriger.

- j'ai ma fonction de transfert en $z$ ;
- je passe dans le domaine fréquentiel : $H(e^{j\omega T_{e}})=\dfrac{e^{j\omega T_{e}}}{e^{j\omega T_{e}}+0,9}$ ;
- en comparant les termes au dénominateur, on déduit deux domaines : $0,9\ll e^{j\omega T_{e}}$ et $0,9\gg e^{j\omega T_{e}}$ .

Régime HF : pour $0,9\ll e^{j\omega T_{e}}$ , on a $H(e^{j\omega T_{e}})= 1$ , et donc $G_{\mathrm{d}B}=20\mathrm{log}|H(e^{j\omega T_{e}})|=0$ .
Régime BF : pour $0,9\gg e^{j\omega T_{e}}$ , on a $H(e^{j\omega T_{e}})= \dfrac{1}{0,9}e^{j\omega T_{e}}$ , et donc $G_{\mathrm{d}B}=20\mathrm{log}|H(e^{j\omega T_{e}})|=-20\mathrm{log}0,9+20\mathrm{log}e^{j\omega T_{e}}$ .

À basse fréquence, on a donc une pente de $+20 \mathrm{d}B/\mathrm{décade}$ , avec un signal qui est très atténué (car $G_{\mathrm{d}B}\ll 0$ ).
A haute fréquence, l'amplitude ne varie plus : le signal n'est pas atténué et laisse donc passer les HF. Cela permet de conclure sur la nature du filtre : le filtre étudié est un filtre passe-haut.

2. Si le raisonnement du 1 est correct, alors je saurai refaire cet exemple, dont je posterai mon résultat pour vérification.

3. Je m'excuse pour la coquille du message initial. L'équation aux différences est $y[k]=Gx[k]\textcolor{red}{+}ay[k-1]$ .

En première intuition, j'utiliserai un filtre passe-bas pour filtrer le bruit du signal. Mais physiquement, je ne vois pas bien comment le justifier ...

Dans la question 1, on avait $a=0,9>0$ .

Concernant la stabilité, voici ce que j'ai étudié comme critère en cours :

Propriété (stabilité)
Un filtre est dit stable si le cercle unité appartient au domaine de convergence de la fonction de transfert en $z$ .

Propriété (stabilité et causalité)
Un filtre est stable et causal si tous les pôles de $H(z)$ sont compris à l'intérieur du cercle unité.

On a donc grâce à l'équation aux différences la fonction de transfert en $z$ suivante : $H(z)=\dfrac{G}{1-az^{-1}}$ . Si on transforme un peu cette équation, il vient $H(z)=\dfrac{Gz}{z-a}$ . L'étude au dénominateur donne un pôle pour $z=a$ . Selon toi, il faut que j'utilise une des deux propriétés exposées ci-dessus ?

Merci pour ton aide,
Oreo47

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 23:48

Bonsoir,

Les comparaisons des exponentielles complexes à 0,9 n'ont pas grand sens :
1- ce sont des complexes
2- leur norme est 1, quelque soit omega.

Il est inutile de calculer des dB, on veut juste savoir PB ou PH.

$\abs(H)^2=1/(0,9^2+1+2*0,9*cos(\omega T_e))$
En continu cela donne 1/(1+0,9)^2
En HF, i.e. f=fe/2, $\omega T_e=\pi$ , cela donne 1/(1-0,9)^2 plus grand
Ou abs(H) fonction croissante de omega.
On voit que cela est du au signe de 0,9 ; avec -0,9 on obtient un passe-bas.

Pour le 3, il faut un bien un passe-bas, le signal à garder est bien de plus basse fréquence que le bruit à éliminer.
D'après le 1, on voit qu'il faut un a>0 pour un PB.
L'étude de stabilité est la bonne, il faut donc que abs(a)<1.

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 15-12-19 à 23:58

Bonsoir,

Quand j'écris (H)^2, il faut comprendre valeur absolue de H au carré.

Posté par re : Questions en traitement numérique du signal 17-12-19 à 18:10

Bonsoir gts2,

Merci pour toutes tes précieuses indications. Cela m'a bien débloqué.
Je reviendrai certainement avec d'autres nouvelles questions sur un nouveau post.

Oreo47.

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