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Questions en électromagnétisme

Posté par
EvDavid
11-01-18 à 21:32

Bonsoir,

Dernièrement en révisant le magnétisme j'ai quelques questions d'odre général qui me tracassent. J'espére que vous pourrez m'aider afin que je puisse comprendre .

Quelle est la diffèrence entre un courant de conduction et un courant de convection ?
Est-ce que les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss ( dans le régime statique ) ne sont valables que pour des distributions volumiques ?
À quoi sert l'hypothèse d'un circuit de composition matérielle constante ( c'est à dire qu'il est indéformable ) dans le calcul du travail de la force de Laplace. Je sais que le flux à travers une surface fermée est nul et ceci à tout instant, pour cela on a besoin d'un champ permanent , mais sinon pour ce qui du circuit indéformable je ne sais pas pourquoi.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre et de pouvoir approfondir ma vue sur ces notions.

Merci d'avance.

Posté par
vanoise
re : Questions en électromagnétisme 11-01-18 à 23:16

Bonsoir

Citation :
Quelle est la diffèrence entre un courant de conduction et un courant de convection ?

On parle essentiellement de courant de convection dans l'étude des transferts thermiques. Ne s'agit-il pas ici de courant de déplacement ?
Citation :
Est-ce que les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss ( dans le régime statique ) ne sont valables que pour des distributions volumiques ?

Mais toutes les distributions sont volumiques ! La modélisation surfacique est une simplification lorsque l'épaisseur e de la distribution volumique est très faible devant les autres dimensions du problème. On pose alors pour simplifier : .d=.dS  avec =.e; si la distribution est assimilable à un fil cylindrique de diamètre très petit devant les autres dimension du problème, on pose : .d=.dl avec =.S avec S : aire de la section droite du cylindre. Même chose pour \overrightarrow{j}.d\tau , \overrightarrow{i_{s}}.dS , I.\overrightarrow{dl} .
Citation :
À quoi sert l'hypothèse d'un circuit de composition matérielle constante ( c'est à dire qu'il est indéformable ) dans le calcul du travail de la force de Laplace.

Certain cours font effectivement la démonstration dans le cas d'un circuit filiforme indéformable pour la généraliser ensuite à un circuit filiforme quelconque, en particulier dans le cas d'un circuit en rotation autour d'un axe.
Mes réponses sont très générales, peut-être trop. Pose des questions plus précises si tu le juges utile.

Posté par
EvDavid
re : Questions en électromagnétisme 11-01-18 à 23:26

Bonsoir,

Merci pour vos réponses.
Pour la première la question peut-être il s'agit d'électrons de convection, ou le livre où j'ai vu cette appelation confond la notation de courant de convection avec courant de déplacement. Sinon dans le cas de courant de déplacement, il y'a une diffèrence s'il vous plait ?

Pour la troisième question vous avez bien raison c'est un courant filiforme ( cercle même je suppose ) indéformable . Je ne vois pas en quoi nous sert l'hypothèse d'indéformable. Vous voulez que j'écrive la démonstration ? Sinon est-ce qu'on peut généraliser à un courant quelconque s'il vous plait ?

Posté par
vanoise
re : Questions en électromagnétisme 12-01-18 à 11:04

Bonjour
Pour l'équation de Maxwell-Ampère, je veux bien reprendre la chronologie du raisonnement pour bien faire comprendre. Historiquement, on connait d'abord l'expression locale du théorème d'Ampère en magnétostatique :

\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_{0}.\overrightarrow{j} (\overrightarrow{j} : densité de courant de conduction)

Tu dois savoir que la divergence d'un rotationnel est nul en tout point à chaque instant. En considérant la divergence de chacun des deux termes de l'équation précédente, on aboutit à

div\left(\overrightarrow{j}\right)=0 en tout point et à chaque instant. Or, l'équation locale de conservation de la charge électrique conduit à :

div\left(\overrightarrow{j}\right)=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
On voit bien ainsi que l'expression locale du théorème d'Ampère est fausse en régime variable quelconque. Maxwell a eu l'idée de rajouter à \left(\overrightarrow{j}\right) un terme correctif \overrightarrow{j_{D}} qu'il a appelé “densité de courant de déplacement” afin de rendre l'équation d'Ampère compatible avec l'équation locale de conservation de la charge électrique.

\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_{0}.\left(\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j_{D}}\right) de sorte que : div\left(\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j_{D}}\right)=div\left(\overrightarrow{j}\right)+div\left(\overrightarrow{j}_{D}\right)=0 soit : div\left(\overrightarrow{j}_{D}\right)=\frac{\partial\rho}{\partial t}

En dérivant l'expression locale du théorème de Gauss par rapport au temps:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{\partial\left[\varepsilon_{0}.div\left(\overrightarrow{E}\right)\right]}{\partial t}=\frac{\partial\left[div\left(\varepsilon_{0}.\overrightarrow{E}\right)\right]}{\partial t}=div\left(\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)

div\left(\overrightarrow{j}_{D}\right)=div\left(\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)

Maxwell a posé : \overrightarrow{j}_{D}=\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}

Remarque importante : je viens de démontrer que ce résultat est compatible avec la relation de conservation de la charge électrique, je n'ai pas démontré l'expression de \overrightarrow{j_{D}}. Ce n'est pas parce que deux divergences sont égales à chaque instant et en tout point que les deux vecteurs sont nécessairement égaux ! Les équations de Maxwell restent des postulats qui se justifient par leurs conséquences expérimentales.

Pour la dernière question, je ne vois pas trop de quelle démonstration du parles : expression du travail des forces de Laplace en fonction de l'intensité et du flux magnétique à travers le circuit filiforme fermé ?

Posté par
EvDavid
re : Questions en électromagnétisme 12-01-18 à 15:17

Bonjour,

En fait je voulais savoir si on pouvait utiliser les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère si on travaille sur une distribution surfacique ou linéique ( je sais qu'elles n'existent pas, mais comme modélisation dans un exercice... ) . Mais je suis heureux d'avoir mal exprimé ma question, de cette façon j'ai pu connaître d'où vient le terme de courant de déplacement. Votre réponse est très riche , merci beaucoup.

Sinon pour le travail de la force de Laplace je parle de la démonstration où on montre que le flux coupé élémentaire est la variation du flux : \delta \phi _{c}=d\phi et on aboutit à : \delta W_{l}=Id\phi et donc si le courant est uniforme la force de Laplace dérive d'une énergie potentielle.

Posté par
vanoise
re : Questions en électromagnétisme 12-01-18 à 16:50

Remplacer une plaque très peu épaisse simplifie certains calculs mais a un inconvénient. Ce qui est, en toute rigueur une très rapide variation de vecteur champ à la traversée de la plaque peu épaisse devient une discontinuité dans le cas de l'approximation surfacique : discontinuité de la composante normale du vecteur E, discontinuité de la composante tangentielle de B si nappe de courant... Dans ces conditions bien sûr, les équations de Maxwell ne s'appliquent pas aux points appartenant à la surface. On les applique dans les deux milieux de part et d'autre de la surface et on tient compte des relations de discontinuités des vecteurs champ.

Pour la question 3 : imagine une portion AC de fil conducteur de très faible diamètre parcouru par un courant d'intensité I dans le sens A - C. Soit un petit élément \overrightarrow{dl} de ce conducteur orienté dans le sens du courant qui, entre les instants de date t et t+dt se déplace de \overrightarrow{dr}. Le travail élémentaire de la force de Laplace appliqué à cette portion élémentaire vaut (infiniment petit du second ordre) :

\delta^{2}W=\overrightarrow{dF}.\overrightarrow{dr}=I.\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{B}\right).\overrightarrow{dr}
Produit mixte invariant par permutation circulaire :

\delta^{2}W=I.\left(\overrightarrow{dr}\wedge\overrightarrow{dl}\right).\overrightarrow{B}

\left(\overrightarrow{dr}\wedge\overrightarrow{dl}\right)=\overrightarrow{\delta^{2}S} : surface élémentaire balayée par le tronçon élémentaire de conducteur lors de son déplacement élémentaire. Donc :

\delta^{2}W=I.\delta^{2}\phi_{c} car  \overrightarrow{B}.\overrightarrow{\delta^{2}S} représente le flux coupé par le vecteur champ magnétique . Toujours entre les instants de date t et (t+dt), on peut intégrer le résultat précédent le long du conducteur, pour obtenir le travail de la force de Laplace exercée sur (A-C) :

\delta W=\int_{A}^{C}I.\delta^{2}\phi_{c}=I.\delta\phi_{c}
où  \delta\phi_{c}  représente le flux coupé à travers la surface élémentaire balayée par l'ensemble du conducteur (A-C) entre les instants de dates t et (t+dt). On peut encore intégrer ce résultat entre un état initial et un état final :

W=I.\phi_{c}
Le flux coupé est le flux de B à travers la surface balayée par l'ensemble du conducteur AC entre l'instant initial et l'instant final. Cette démonstration suppose le fil de diamètre négligeable, sinon le flux ne pourrait pas être défini mais c'est la seule contrainte. Le champ n'est pas nécessairement uniforme, le fil peut parfaitement se déformer au cours du déplacement !
Si le circuit est fermé, le fait que B soit à flux conservatif permet de poser :

 \\ \phi_{c}=\Phi_{final}-\Phi_{initial}
\Phi désigne le flux de B à travers le circuit filiforme fermé. Cette formule-là ne suppose pas non plus le circuit fermé filiforme indéformable !

Posté par
EvDavid
re : Questions en électromagnétisme 12-01-18 à 17:53

Bonsoir,

Vous m'avez convaincu. Je me demande pourquoi le professeur a traité le cas d'un circuit indéformable et B permanent. En fait, je me souviens qu'il nous a dit que le flux ne peut être conservatif si le champ magnétique n'est pas permanent. Sinon,  vous avez dit que le flux est à travers une surface, je ne sais si je demande trop de détails mais en quoi le diamètre non négligeable nous interdit de parler de flux s'il vous plait ? Puisque n'importe la forme du circuit on aura toujours une surface balayée non ?
Je vois, donc dans la démonstration du theorème de Maxwell ( la force de Laplace dérive d'une énergie potentielle égale à -I\phi + cte )
on travaille sur un fil filiforme fermé et I uniforme.

Merci d'avance

Posté par
vanoise
re : Questions en électromagnétisme 12-01-18 à 18:49

Citation :
le flux ne peut être conservatif si le champ magnétique n'est pas permanent

J'espère que tu as mal compris car c'est une grosse erreur ! Pour parler de champ à flux conservatif à une date t, il faut et il suffit qu'à cette date : div\left(\overrightarrow{B}\right)=0 en tout point de l'espace. C'est exactement ce que postule l'équation de Maxwell-flux ! Cette équation est valide en régime variable quelconque, à chaque instant et en tout point !
Le flux à travers une surface ouverte est le flux à travers une surface délimitée par un ligne fermée. Si le circuit fermé n'est pas filiforme mais formé d'un fil de gros diamètre, il ne peut pas servir de ligne fermée délimitant une surface ! Il est trop "épais" pour cela !

Posté par
EvDavid
re : Questions en électromagnétisme 13-01-18 à 00:13

Malheureusement je n'ai pas mal compris, j'ai trouvé aussi ceci quelque part parmis mes notes que je prends en classe. Bon ce n'est pas grave.
Je comprends bien maintenant, même si mon esprit reste réticent quant à la généralisation aux circuits quelconques en partant d'une démonstration qui suppose certaines conditions. Peut être  cela est vérifié expérimentalement.
Merci beaucoup pour vos réponses, vous m'avez énormément éclairé.

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