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question sur l'entropie

Posté par
cosmoff 03-08-24 à 22:42

bonjour à tous,

j'étudie le cas d'un réfrigérateur.  Je cherche a obtenir le rendement

\eta \leq  \frac{T_{interieur}}{T_{refrigerateur} - T_{interieur} }

(je précise que mon prof mettait plutot des Tf, Tc, Sc, Sf, mais j'ai peur de ne pas comprendre de quoi il s'agit et donc je prefere préciser exactement ce que c'est, bien que ce ne soit pas du tout conventionnel pour vous, dsl encore)

Mon systeme (qui est isolé) est composé de 3 sous systeme.
->l'intérieur du réfrigérateur (là ou se trouve les aliments que l'on souhaite garder à basse température) que je nomme intérieur
-> l'extérieur du réfrigérateur ( qui est en gros la cuisine) que je nomme extérieur
->le systeme de réfrigération (qui est composé du compresseur, condenseur, détendeur et évaporateur) que je nomme réfrigérateur

je peux écrire selon la seconde lois de la thermodynamique que

\Delta S_{interieur} + \Delta S_{exterieur} + \Delta S_{refrigerateur} \geq 0

si je considere mes différents sous systeme comme des thermostats (et donc que la température de mes sous systeme ne changent pas)  alors je peux utiliser la loi de Clausius

\Delta S = \frac{Q}{T}

On a alors

\frac{ - \left| Q_{interieur}\right|}{T_{interieur}} + \frac{ \left| Q_{interieur}\right|}{T_{refrigerateur}} + \frac{ - \left| Q_{refrigerateur}\right|}{T_{refrigerateur}} + \frac{ \left| Q_{refrigerateur}\right|}{T_{exterieur}} \geq 0

c'est la ou je coince car je dois obtenir :

\frac{\left| Q_{interieur}\right|}{T_{interieur}} - \frac{\left| Q_{refrigerateur}\right|}{T_{refrigerateur}} \geq 0

mais je ne comprends pas d'ou ca sort. On se préoccupe uniquement des échanges de chaleurs du sous systeme réfrigérateur ? mais dans ce cas la rien ne garantie que l'entropie soit supérieur à 0. Elle peut meme etre négative. Le prof avait utilisé l'argument que c'est un cycle mais je ne comprend pas cette argumentation

merci d'avance pour votre aide car le message est assez long.

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 04-08-24 à 07:55

Bonjour,

Il y a un problème dès le départ : qu'appelez-vous T(réfrigérateur) ?
Celui-ci est constitué, entre autre, d'un fluide donc la température varie à la fois dans le temps et dans l'espace, donc T(réfrigérateur) est non définie.

Ensuite, c'est bien l'argument du cycle qui compte : si le Δ est relatif à un cycle, l'état du réfrigérateur est le même au début et à la fin et l'entropie étant une fonction d'état, ΔS(réfrigérateur)=0.

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 04-08-24 à 07:58

Remarque : la relation cherché est : \eta < \frac{T_{int}}{T_{ext}-T_{int}}

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 04-08-24 à 20:57

merci beaucoup gts2 pour ta réponse.

oui tu as raison T(refrigérateur) contient 2 températures, celle de l'évaporateur (en contact avec l'intérieur du réfrigérateur) et du condenseur (en contact avec l'extérieur).

nous avons donc :

\frac{ - \left| Q_{interieur}\right|}{T_{interieur}} + \frac{ \left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} + \frac{ - \left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}} + \frac{ \left| Q_{condenseur}\right|}{T_{exterieur}} \geq 0

et donc avec mes nouvelles notations, la relation recherchée est

\eta \leq \frac{T_{evaporateur}}{T_{condenseur} - T_{evaporateur} }

ca te semble ok ?

j'ai donc dans le sous systeme réfrigérateur (ou c'est un cycle)

\frac{\left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} - \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}} = 0

et j'obtiens la relation

\eta = \frac{T_{evaporateur}}{T_{condenseur} - T_{evaporateur} }

mais pour faire apparaitre le \leq dans l'équation du rendement je dois mettre

\frac{\left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} - \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}} \geq 0

oui ? c'est pour prendre le cas ou notre systeme n'est pas idéal ?

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 04-08-24 à 22:21

Votre première équation n'est pas correcte : en reprenant votre méthode \Delta S_{int}+\Delta S_{ext}+\Delta S_{refr}\geq 0, le troisième terme est nul  et les deux autres donnent \frac{\left|Q_{int}\right|}{T_{int}}+\frac{\left|Q_{ext}\right|}{T_{ext}} \geq 0

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 04-08-24 à 22:31

clic intempestif, désolé

qui conduit à \eta \leq \frac{T_i}{T_e-T_i}

Le bilan entropique sur le réfrigérateur donne
avec : et : le réfrigérateur ce n'est pas uniquement évaporateur/condenseur mais aussi détendeur compresseur.
L'inégalité conduit à \eta \leq \frac{T_i}{T_e-T_i}

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 04-08-24 à 22:40

quelques pb Latex ...

Bilan réfrigérateur :  variation de S =\frac{\left|Q_{int}\right|}{T_{evap}}-\frac{\left|Q_{ext}\right|}{T_{cond}}+S_c avec S_c\geq 0 et variation nulle.

L'inégalité conduit à \eta \leq \frac{T_{evap}}{T_{cond}-T_{evap}}

Désolé pour la non lisibilité des trois messages au lieu d'un.

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 05-08-24 à 19:37

merci beaucoup gts2 pour toutes tes réponses, je commence a y voir un peu plus clair.
Et effectivement à partir de

\Delta S_{interieur} + \Delta S_{exterieur} + \Delta S_{refrigerateur} \geq 0

si \Delta S_{refrigerateur} = 0 car c'est un cycle alors je retombe sur

\frac{- \left| Q_{interieur}\right|}{T_{interieur}} + \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{T_{exterieur}} \geq 0

\frac{ \left| Q_{condenseur}\right|}{\left| Q_{interieur}\right|} \geq  \frac{T_{exterieur}}{T_{interieur}}

et je trouve le bon rendement :

\eta \leq \frac{T_{interieur}}{T_{exterieur} - T_{interieur}}

mais j'ai une derniere question. La formule du rendement

\eta = \frac{\left| Q_{interieur}\right|}{\left|W \right|}

et a partir de la premiere loi de la thermodynamique

\left| W\right| = - \left| Q_{interieur}\right| + \left| Q_{condenseur}\right| (\Delta U = 0 car cycle)

\eta = \frac{1}{-1 + \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{\left| Q_{interieur}\right|}}

si je veux le rendement max, il faut que Q(condenseur)  =  Q(interieur) mais comment à partir de ca, on peut se dire que si le sous systeme refrigérateur décrit un cycle de sorte que

\Delta S_{refrigerateur} = 0

alors j'aurais le rendement max. Je n'arrive pas a comprendre comment en regardant la formule du rendement qui ne fait pas intervenir l'entropie, on  puisse arriver a dire que si le sous syteme réfrigérateur  décrit un cycle entropique alors ca aura comme conséquence d'avoir un rendement max. (j'espere mettre fait comprendre)

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 05-08-24 à 20:45

Citation :
si je veux le rendement max, il faut que Q(condenseur)  =  Q(interieur)

Ce n'est pas possible : vous avez montré que |Q(condenseur)|>|Q(interieur)| Text/Tint (4\ieme équation de votre message) et Text>Tint.

La "formule" (la définition ?) du rendement ne fait pas intervenir  l'entropie mais pour trouver le max de celui-ci, il faut faire un raisonnement entropique pour trouver le rapport des Q.

Citation :
si le sous sytème réfrigérateur  décrit un cycle entropique
  
Vous voulez dire réversible ?
Le rendement max (donc l'égalité à la limite) vient de la limite réversible du second principe (qui donne le rapport min des Q), le lien est direct.
Mais je suppose que vous voulez dire autre chose.

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 05-08-24 à 21:19

Citation :
La "formule" (la définition ?) du rendement ne fait pas intervenir  l'entropie mais pour trouver le max de celui-ci, il faut faire un raisonnement entropique pour trouver le rapport des Q.


ce que j'aimerais savoir c'est comment on s'est dit que pour trouver le rendement max il faut faire un raisonnement entropique, d'ou ca sort ca (c'est peut etre un peu d'histoire des sciences ou des idées que je demande).

PS: oui quand j'ai dit cycle entropique je voulais dire réversible (mea culpa)

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 05-08-24 à 22:18

je vais etre plus clair :
En reprenant la formule du second principe :

\frac{ - \left| Q_{interieur}\right|}{T_{interieur}} + \frac{ \left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} + \frac{ - \left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}} + \frac{ \left| Q_{condenseur}\right|}{T_{exterieur}} \geq 0

j'obtiens :

\frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{\left| Q_{interieur}\right|} \geq \frac{\frac{1}{T_{interieur}} - \frac{1}{T_{evaporateur}}}{\frac{-1}{T_{condenseur}} + \frac{1}{T_{exterieur}}}

j'ai donc

\eta \leq \frac{1}{ -1 + \frac{\frac{1}{T_{interieur}} - \frac{1}{T_{evaporateur}}}{\frac{-1}{T_{condenseur}} + \frac{1}{T_{exterieur}}}}

A partir de cette équation je me demande comment on peut voir que si mon sous systeme réfrigérateur décrit un cycle reversible alors j'obtiendrais un rendement max
( c'est peut etre juste un probleme de math ...)

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 06-08-24 à 07:12

Dans votre première équation, le premier terme est ΔS(int) le dernier ΔS(ext) donc le terme du milieu est ΔS(réfrig) qui est nul
1- Autrement dit vous avez une inéquation a+b>0 et b=0 et vous ne simplifiez pas en a>0, ce qui ne peut que compliquer les choses
2-  ΔS(réfrig)=\frac{|Q_e|}{T_e}+\frac{-Q_c|}{T_c}+S_c, car un réfrigérateur ce n'est pas uniquement un évaporateur et un condenseur, il faut bien passer de l'un à l'autre (création d'entropie dans le détendeur et le compresseur) . Votre expression de  ΔS(réfrig) suppose donc, dès le départ, que celui-ci fonctionne de manière réversible.

Vous obtiendrez un rendement max si TOUT le dispositif est réversible, ce qui impose que Text=Tcondenseur et Tint=Tevaporateur (réversibilité des échanges thermiques) ce qui conduit à une forme indéterminée 0/0.

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 06-08-24 à 17:50

merci gts2 pour ta réponse.

je pense que je m'exprime mal. A partir de

\eta  \leq \frac{1}{ -1 + \frac{\frac{1}{T_{interieur}} - \frac{1}{T_{evaporateur}}}{\frac{-1}{T_{condenseur}} + \frac{1}{T_{exterieur}}}}

je peux juste en lisant l'équation dire que si T(intérieur) = T(extérieur) et T(condenseur) = T(evaporateur) alors j'aurais le rendement max. Mais écrire ca, ne signifie pas que le cycle doit etre réversible.

\Delta S_{refrigerateur}=\frac{\left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} - \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}}

ΔS(réfrig) peut tres bien etre différent de 0 ca ne change rien que j'aurais tout de meme le rendement max si T(intérieur) = T(extérieur) et T(condenseur) = T(evaporateur)

donc pourquoi dit on qu il faut que le sous systeme réfrigérateur soit reversible pour avoir le rendement max.

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 06-08-24 à 18:14

J'ai du mal à suivre :

Si T(intérieur) = T(extérieur) et T(condenseur) = T(evaporateur) cela donne \eta \leq \infty (OK) et implique que les quatre températures sont égales (à cause du second principe sous forme chaud vers froid qui implique que T(condenseur) \geq T(ext) et T(evaporateur) \leq T(int)). C'est un cas très très particulier.
D'autre part votre équation provient de  la première équation de votre message du  05-08-24 à 22:18 qui suppose le sous-système réfrigérateur réversible et l'égalité entre les quatre températures fait que les échanges avec l'extérieur le sont aussi, donc le tout est réversible.

\Delta S_{refrigerateur} \neq \frac{\left| Q_{interieur}\right|}{T_{evaporateur}} - \frac{\left| Q_{condenseur}\right|}{T_{condenseur}}, je l'ai déjà indiqué deux fois.

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 06-08-24 à 18:19

Citation :
donc pourquoi dit-on qu'il faut que le sous système réfrigérateur soit réversible pour avoir le rendement max.


Pour avoir le rendement max, il faut avoir l'égalité et cette égalité provient du second principe qui dit qu'il y a égalité si réversible, il faut donc que le sous-système réfrigérateur soit réversible ET que les échanges thermiques le soient également soit T(intérieur) = T(evaporateur) et T(extérieur)=T(condenseur).

Posté par
cosmoffre : question sur l'entropie 06-08-24 à 19:20

Citation :
Pour avoir le rendement max, il faut avoir l'égalité et cette égalité provient du second principe qui dit qu'il y a égalité si réversible, il faut donc que le sous-système réfrigérateur soit réversible ET que les échanges thermiques le soient également soit T(intérieur) = T(evaporateur) et T(extérieur)=T(condenseur).


Ok je viens de comprendre ! tout est clair maintenant !

merci beaucoup gts2 de ton temps ! tu m'as fait gagner un temps précieux

Posté par
gts2re : question sur l'entropie 06-08-24 à 20:44

Une dernière remarque : les raisonnements sur les machines sont plus clairs (de mon point de vue !) avec les échanges d S=\frac{\delta Q}{T_{ech}}+\delta S_c qu'avec les raisonnements sur l'"univers", mais c'est un point de vue...


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