Niveau maths sup

Quantité élémentaire / différentielle totale

Posté par Orion_LC (invité) 07-11-07 à 15:56

Bonjour.

J'ai un petit problème de notion d'ordre mathématique...
En physique, on dit que la différentielle totale d'énergie interne est égale à la quantité élémentaire de travail.

Donc, ma question est : c'est quoi la différence entre la différentielle totale (notée d) et la quantité élémentaire (notée petit delta) ?

Posté par re : Quantité élémentaire / différentielle totale 07-11-07 à 17:13

L'énergie interne est ce que l'on appelle une fonction d'état. Elle dépend uniquement de variables décrivant le système à équilibre donné. Sa variation dépend donc uniquement de l'état de départ et de celui d'arrivé et non de la façon dont s'opère cette variation. Une variation élémentaire de cette énergie s'exprime à partir des variables du système sous la forme différentielle:

$dU=\sum\limits_i \frac{\partial U}{\partial x_i}\rm{d}x_i$

que l'on qualifie parfois de forme différentielle exacte (où les $x_i$ désignent les différentes variables d'état).

De fait, pour un déplacement entre un état A et un état B, la variation totale d'énergie interne s'exprime simplement comme:

$\int\limits_A^B dU=U(B)-U(A)$

Le travail, en revanche, dépend du sens de la transformation et de chacune des étapes élémentaires intermédiaires. On ne peut donc pas trouver d'expression mathématique pour laquelle la connaissance des états de départ et d'arrivée seuls permet de calculer le travail total. La seule solution est d'intégrer ces quantités élémentaires $\delta W$ sur l'ensemble transformation :

$W_{A\rightarrow B} = \int\limits_A^B \delta W$

On peut toutefois souvent déterminer une expression de la forme :

$\delta W=\sum\limits_i f_i \rm{d}x_i$

mais, de façon générale, il n'existe pas de fonction F telle que:

$f_i = \frac{\partial F}{\partial x_i}$