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Quantique et vecteur propre d'une matrice

Posté par
Jean469 02-01-18 à 16:18

Bonsoir à tous et bonne année!

En fait j'ai une question concernant des vecteurs propres.

En effet,dans un exo de quantique (avec les des matrices,des observables...) j'ai le  système suivant a :

x+y+z=0
x+y+z=0
x+y+z=0
D'ou x=-y-z

Or en courson trouve le vecteur propre v1=(0 -1 1)*1/racine(2) , on aurait pu trouver (0 1 -1) aussi non?
Problème,je ne vois pas d'ou  vient le (0 -1 1)?

Un autre exemple que j'ai compris(je pense) c'est le système:
4x -2y+2z=0
-2x+4y+2z=0
2x+2y+4z=0

Donc x=y =-z d'ou v2=(1 1 -1)*1/racine(3)  ou v2=(-1 -1 1)*1/racine(3) je sais pas lequel privilégier mais faut toujours choisir les vecteur les plus simple(si possible) je crois donc avec ces 1 ou -1.
PS:J'ai pas oublié mon sujet d'optique,je vais y répondre bientôt.

Posté par
diracre : Quantique et vecteur propre d'une matrice 02-01-18 à 20:45

Hello

Nous sommes ici plutôt devant un problème d'algèbre linéaire que de physique... surtout que tu ne partages que la partie émergée de l'iceberg

L'application linéaire qui t'intéresse est

\phi(X)= \begin{pmatrix} \\ 0 &1  &1 \\ \\ 1 &0  & 1\\ \\ 1& 1 & 0 \\ \end{pmatrix}X

On te demande de chercher les valeurs/vecteurs propres de cette A.L,  ie les vecteurs X tels que

\phi(X) = \lambda X

Tu sais peut être que \lambda sera valeur propre si   det(A_{\phi}-\lambda.I) = 0

Ce qui conduit à (sauf boulette (fréquente) de ma part) à:

(\lambda+1)^2(\lambda-2) =0

D'où 2 valeurs propres  \lambda = -1  et \lambda = 2  

C'est la première valeur propre qui te conduit au système que tu soumets

\begin{pmatrix} \\ 0 &1  &1 \\ \\ 1 &0  & 1\\ \\ 1& 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x\\ \\ y\\ \\ z \\ \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} \\ x\\ \\ y\\ \\ z \\ \end{pmatrix} \\

Soit x+y+z=0

Qui est l'équation d'un plan vectoriel qui est le noyau de (A+I)

Tu dois donc résoudre le système

\begin{pmatrix} \\ 1 &1  &1 \\ \\ 1 &1  & 1\\ \\ 1& 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x\\ \\ y\\ \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\

Le méthode assez pratique en dimension 3 est la combinaison de lignes et colonnes qui ici se résume assez simplement en:

y\begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 1\\ \\ 0 \\ \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 1 \\ \end{pmatrix}

Donc une base de ce plan est

\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 1\\ \\ 0 \\ \end{pmatrix}     et   \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 1 \\ \end{pmatrix}

Si tu souhaites construire une base dont les vecteurs ont une norme unité tu choisiras

\vec{e}_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 1\\ \\ 0 \\ \end{pmatrix}     et   \vec{e}_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 1 \\ \end{pmatrix}

Est ce plus clair?

Posté par
diracre : Quantique et vecteur propre d'une matrice 03-01-18 à 18:18

Pas de nouvelle bonne nouvelle?

Tu auras noté que les vecteurs propres \vec{e}_1 et \vec{e}_2 que je te proposais pour la valeur propre \lambda = -1 ne sont ni le vecteur (0 -1 1) ni (0 1 -1) que tu proposais

Par contre, le premier est égal à \vec{e}_2 - \vec{e}_1 et l'autre à \vec{e}_1 - \vec{e}_2, ce sont donc bien 2 éléments du même s.e.v. des vecteurs propres

Posté par
Jean469re : Quantique et vecteur propre d'une matrice 04-01-18 à 11:41

Bonjour et désolé du retard.

EN fait je devais montrer que la matrice  :  a(0 -2 2;-2 0 2;2 2 0) est une observable,donc

on a écrit det(A-lambda.I)=0 comme ce que tu as écrit mais le vecteurs propre trouvé en cours je ne le comprend pas.

PS: les bases  e1 et e2 j'essai de comprendre mais c'est loin pour moi .
Merci pour ton aide en tout cas.

Posté par
Jean469re : Quantique et vecteur propre d'une matrice 04-01-18 à 12:30

Erreur de ma part,c'était la matrice: a*(-1  1 1;1 -1 1;1 1 -1)

Et on avait le système (-1-lamba)x+y+z=0
                                                  x+(-1-lamba)y+z=0
                                                 x+y+z (-1-lamba)=0
et avec comme l'une des valeur propre lambda=-2 on tombe sur le système de mon premier message.
Si la modération pouvais supprimer mon avant dernier message sur ce sujet ça serait cool.

Posté par
diracre : Quantique et vecteur propre d'une matrice 04-01-18 à 20:06


Il est dommage que tu n'ais pas partagé au début du sujet l'ensemble de l'énoncé, car cela  m'aurait permis (ou un autre) d'être plus pertinent dans l'aide que je tente de t'apporter

Je crois qu'il n'est peut être pas inutile de (re) mettre de l'ordre dans tes idées sur les "fondamentaux"

On te donne donc un opérateur linéaire \hat{A} dont la matrice représentative dans une base orthonormée \mathcal{B} = (e_1,e_2,e_3)   est:

A = \begin{pmatrix} \\ \\-1&1&1 \\ \\ \\1&-1&1\\ \\ \\1&1&-1\\ \end{pmatrix}

Peux tu rappeler la définition donnée  dans cours d'observable / d'opérateur observable ?

(Une fois cela clarifié, cela ira "tout droit" tu verras )

Posté par
Jean469re : Quantique et vecteur propre d'une matrice 05-01-18 à 11:21

Bonjour Dirac,oui j'aurais dû poster ça au début c'est vrai.
Sinon c'est déja bien plus clair là,avec ce que tu as dis,les notion de sev,de bases,les combinaison linéaire c'est lié aussi il me semble .

Et oui le cours a été négligé au détriment de la "pratique" des exos,mais voici ce qui est dit dans mon cours:
Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur A qui agit dans ,cet opérateur est une observable.

Mais je vais bien revoir le cours.

Posté par
diracre : Quantique et vecteur propre d'une matrice 05-01-18 à 17:55

Le cours devrait t'en dire un peu plus:

1) l'opérateur A associé à une quantité mesurable est linéaire et hérmitien (sa matrice est égale à la transposée de sa conjuguée)
2) A partir des vecteurs propres de l'opérateur on peut constituer une base de l'espace des états (théorème spectral)

C'est le point 2) qui nous intéresse ici:

Donc l'opérateur \hat{A} est représenté par la matrice A et on va:

1) déterminer ses valeurs propres par le calcul de det(A-\lambda I)

2) à partir des valeurs propres, construire la base des vecteurs propres

Je te laisse t'y coller? Ou bien sonner si tu ne t'en sors pas?

Posté par
diracre : Quantique et vecteur propre d'une matrice 06-01-18 à 18:16

Donc

Det(A-\lambda I) = Det \begin{pmatrix} \\ \\  \\-(1+\lambda)&1&1 \\ \\ \\  \\1&-(1+\lambda)&1\\ \\ \\  \\1&1&-(1+\lambda)\\ \end{pmatrix}  

Donc: Det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda+2)^2

Pour \lambda = -2

On résout (A+2I)X = 0

Le sev engendré est le plan d'équation  x+y+z = 0

Le premier vecteur de norme 1 permettant de construire une base orthonormée peut être:

\vec{e}_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} \\ \\ 0\\ \\ \\ -1\\ \\ \\ 1 \\ \\ \end{pmatrix}  

Pour construire le 2nd vecteur, on considère:

1) qu'il appartient au plan  x+y+z=0
2) qu'il doit vérifier  \vec{e}_1.\vec{e}_2 = 0   soit  y=z
3) ||\vec{e}_2||  = 1

Ce qui conduit à:

\vec{e}_2 = \frac{\sqrt{6}}{6}\begin{pmatrix} \\ \\ -2\\ \\ \\ 1\\ \\ \\ 1 \\ \\ \end{pmatrix}  

Pour \lambda = 1

On résout (A- I)X = 0

Le sev engendré est la droite d'équation  x=y=z

On vérifie alors que \vec{e}_3 = \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}\begin{pmatrix} \\ \\ 1\\ \\ \\ 1\\ \\ \\ 1 \\ \\ \end{pmatrix}

Est vecteur propre pour cette valeur propre ... et c'est tant mieux

Je crois que l'on a fait le tour de ce petit rappel d'algèbre linéaire pas (complètement) inutile à la mécanique quantique

On a bon?

Posté par
Jean469re : Quantique et vecteur propre d'une matrice 06-01-18 à 21:18

Oui merci  beaucoup Dirac!
J'aurais dû te répondre plus tôt.

Là c'est déjà plus clair le cours mais je vais revoir bien ça,et aussi les calculs de matrice(simplification du déterminant) qu'il faut que je revois bien quoi,parce que j'y suis pas très familier.

Posté par
Jean469re : Quantique et vecteur propre d'une matrice 06-01-18 à 21:19

Dès ce soir ou très tôt demain je posterai des questions sur les matrices et en quantiques,mais je m'y suis pris un peu tard pour révisé.


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