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Quadripole

Posté par
Physical111 27-03-23 à 02:33

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)un quadripole quelconque possède une matrice impédance Z=\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}
Si aucun circuit de charge n'est connecté à sa sortie, quelle sont les équations linéaires de ce quadripole ?
2) Déterminer la matrice impédance [ Z] d'un quadripole quelconque connaissant sa matrice de transfert [T]
Alors je propose :
1)
Voici un schéma du circuit que j'ai fait :
Quadripole
On sait que V1=Z11I1+Z12I2
V2=Z21I1+Z22I2
•Lorsqu'aucun circuit de charge n'est connecté à la sortie d'un quadripôle linéaire, cela signifie que la charge est ouverte, c'est-à-dire que la sortie est déconnectée de tout circuit externe. Dans ce cas, il n'y a pas de courant qui circule dans la charge, et les équations linéaires du quadripôle peuvent être simplifiées.

Si l'on considère les équations reliant les tensions de sortie aux courants d'entrée, on peut écrire :

\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix}
Dans le cas où la sortie est ouverte, il n'y a pas de courant qui circule dans la charge, c'est-à-dire que I_1 et I_2sont nuls. Par conséquent, les équations se réduisent simplement à :

\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
Cela signifie que les tensions de sortie sont toutes deux nulles, quelle que soit la valeur des tensions d'entrée. En d'autres termes, le quadripôle ne transmet pas de signal à la charge lorsque la sortie est ouverte
Merci beaucoup d'avance

Posté par
vanoisere : Quadripole 27-03-23 à 11:10

Bonjour
En absence de charge : I2=0. C'est tout ce qu'on peut dire dans le cas général.

Posté par
Physical111re : Quadripole 27-03-23 à 11:23

Bonjour
Effectivement, si aucun circuit de charge n'est connecté à la sortie du quadripôle, cela signifie que le courant de sortie I_2 est nul. Cependant, cela ne suffit pas à déterminer les équations linéaires du quadripôle dans le cas général.
En effet, les équations linéaires d'un quadripôle décrivent les relations linéaires entre les tensions et les courants d'entrée et de sortie du circuit, en prenant en compte les impédances des circuits connectés. Elles peuvent être exprimées sous forme matricielle, comme :

\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} \\ où [tex]V_1 et V_2 sont les tensions d'entrée et de sortie, I_1 et I_2 sont les courants d'entrée et de sortie, et Z_{11}, Z_{12}, Z_{21} et Z_{22} sont les coefficients de la matrice d'impédance du quadripôle.

En absence de charge, le courant de sortie I_2 est nul, ce qui peut être utilisé pour simplifier les équations linéaires du quadripôle. Par exemple, si on considère que la tension d'entrée V_1 est connue, on peut déterminer la tension de sortie V_2 en utilisant l'équation :
\\ V_2 = Z_{21} I_1 \\ où I_1 est le courant d'entrée correspondant à la tension d'entrée V_1. Cette équation montre que la tension de sortie dépend uniquement du coefficient Z_{21} de la matrice d'impédance du quadripôle, et du courant d'entrée I_1

Cependant, cela ne permet pas de déterminer les autres coefficients de la matrice d'impédance, ni de prendre en compte les impédances des circuits connectés. Par conséquent, il est nécessaire d'avoir des informations supplémentaires sur le quadripôle ou sur les circuits connectés pour pouvoir déterminer les équations linéaires complètes du circuit
Merci

Posté par
vanoisere : Quadripole 27-03-23 à 11:57

Ma réponse précédente concernait uniquement la question 1 de ton exercice. Que proposes-tu pour la question 2 ?

Posté par
Physical111re : Quadripole 27-03-23 à 19:07

Bonjour
Pour 2)
[Z]=\dfrac{1}{T_{21}}\begin{pmatrix} T_{11} & \Delta T \\ 1 & T_{22}\end{pmatrix}
Où ∆t=T11T22-T12T22
Mais comment on peut la montrer s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
vanoisere : Quadripole 27-03-23 à 19:47

Il faut commencer par bien définir les notations. De nombreux auteurs définissent la matrice de transfert à partir de la relation :

\left(\begin{array}{c} \\ V_{1}\\ \\ I_{1} \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \\ T_{11} & T_{12}\\ \\ T_{21} & T_{22} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \\ V_{2}\\ \\ -I_{2} \\ \end{array}\right)
mais d'autres remplacent -I2 par I2... Quelle est la convention de ton cours ?
Tu es sûr de l'expression de T ?
Pour la méthode : rien de bien astucieux mais beaucoup de calculs. C'est pour cette raison que les relations de passage sont presque toujours fournies dans les énoncés de problèmes. Il faut exprimer V1 et I1 en fonction de V2 et I2 et des coefficients de la matrice de transfert puis reporter et identifier avec les coefficients de la matrice impédance. Je te laisse travailler...

Posté par
Physical111re : Quadripole 27-03-23 à 22:15

Bonjour
Dans mon cours la matrice de transfert est défini par :
Les paramètres de transfert sont utilisés pour exprimer les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d'entrée. Les équations caractéristiques de ce quadripôle peuvent se
mettent sous la forme :
\left(\begin{array}{c} \\ V_{2}\\ \\ I_{2} \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \\ T_{11} & T_{12}\\ \\ T_{21} & T_{22} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \\ V_{1}\\ \\ -I_{1} \\ \end{array}\right)

Citation :
∆t=T11T22-T12T21

Donc \left(\begin{array}{c} \\ V_{1}\\ \\ -I_{1} \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \\ T_{11} & T_{12}\\ \\ T_{21} & T_{22} \\ \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} \\ V_{2}\\ \\ I_{2} \\ \end{array}\right)
Donc
\begin{pmatrix} V_1 \\ -I_1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\Delta T}\begin{pmatrix} T_{22} & -T_{12} \\ -T_{21} & T_{11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_{2} \\ I_2\end{pmatrix}
Merci

Posté par
vanoisere : Quadripole 28-03-23 à 12:20

Les choses ne sont pas simples car, suivant les cours, on définit la matrice de transfert comme tu le fais ou comme je te l'ai présenté précédemment, les deux matrices possibles étant ainsi inverses l'une de l'autre ! Pour te simplifier la vie, je conserve tes notations :

V_{2}=T_{11}.V_{1}-T_{12}.I_{1} \\ \\ I_{2}=T_{21}.V_{1}-T_{22}.I_{1}

Z_{11}=\frac{V_{1}}{I_{1}} lorsque I2=0. Or, lorsque I2=0, la deuxième équation donne :

T_{21}.V_{1}-T_{22}.I_{1}=0

Donc :

Z_{11}=\frac{T_{22}}{T_{21}}

Je te laisse continuer pour les trois autres coefficients ...

Posté par
Physical111re : Quadripole 28-03-23 à 14:56

Bonjour
Donc Z21=\dfrac{V_2}{I_1} lorsque I2=0 les équations linéaires de la matrice de transfert devient :
T21V1-T22I1=0
V2=T11V1-T12I1
Donc
V1=T22/T21I1
Et V2=T11*(T22/T21) *I1-T12I1
Donc V2=\dfrac{T_{11}T_{22}-T_{12}T_{21}}{T_{21}}I_1
Donc \boxed{Z_{21}=\dfrac{T_{11}T_{22}-T_{12}T_{21}}{T_{21}}}
•Z12=V1/I2 lorsque I1=0 les deux équations devient :
V2=T11V1
Et I2=T21V1
Donc \dfrac{V_1}{I_2}=\dfrac{1}{T_{21}}
Donc \boxed{Z_{12}=\dfrac{1}{T_{21}}}
•pour Z22=V2/I2
Lorsque I1=0 or V2=T11V1
Et I2=T21V1
V1=V2/T11
I2=T_{21}\dfrac{V_2}{T_{11}}
Donc \dfrac{V_2}{I_2}=\dfrac{T_{11}}{T_{21}}
D'où\boxed{Z_{22}=\dfrac{T_{11}}{T_{21}}}
Merci beaucoup

Posté par
vanoisere : Quadripole 28-03-23 à 15:09

Parfait !

Posté par
Physical111re : Quadripole 28-03-23 à 16:43

Bonjour
J'ai une question supplémentaire si dans une question on demande la matrice impédance connaissant sa matrice hybride ou matrice admittance on utilise la même demande c'est à dire on dit que Z11 =V1/I1 lorsque I2=0 et on remplace dans les matrices hybride admittance I2=0
Merci

Posté par
vanoisere : Quadripole 28-03-23 à 17:14

La méthode que je t'ai indiquée est générale : elle s'applique pour passer d'une matrice quelconque à n'importe quelle autre matrice.


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