Niveau maths spé

Puissance dissipée

Posté par
carles02 05-11-15 à 17:58

Bonjour à tous,

Tout nouveau dans l'électrostatique, le passage d'une ligne de calcul à une autre m'échappe.

On démontre le résultat suivant : "Un conducteur de résistance $R$ absorbe la puissance électrique $U_{AB}I_{AB}=RI_{AB}^2$ ". Voici le début de la démonstration :
Soit un tube de courant, compris entre deux surfaces équipotentielles, de résistance $R$ .

On a $U_{AB}I_{AB}=(V_A-V_B)I_{AB}=-\int\int V\vec{j}.d\vec{S}$

Je ne comprends pas la dernière égalité. Pourquoi $(V_A-V_B)I_{AB}=-\int\int V\vec{j}.d\vec{S}$ .
Certes, on a $I_{AB}=\int\int \vec{j}.d\vec{S}$ , mais pourquoi on peut mettre $V$ dans l'intégrale ?

Merci pour vos réponses !

Posté par re : Puissance dissipée 05-11-15 à 18:31

Bonsoir,
Je me demande si tu n'as pas des problèmes de notation ; selon moi, il est plus simple de chercher d'abord à déterminer la résistance élémentaire dR d'un tube élémentaire de courant parcouru par le courant d'intensité élémentaire :
$dI=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}$
Tu utilises alors l'expression locale de la loi d'Ohm ( : conductivité du conducteur):
$\overrightarrow{j}=\gamma\cdot\overrightarrow{E}=-\gamma\cdot\overrightarrow{grad}\left(V\right)$
Tu intègres le long de la ligne de champ moyenne de ton tube de champ élémentaire entre l'extrémité A et l'extrémité B en utilisant la propriété du gradient :
$\overrightarrow{grad}\left(V\right)\cdot\overrightarrow{dl}=dV$
ce qui fait apparaître la différence de potentiel V_A - V_B. Tu en déduis l'expression de dR puis tu intègres sur la totalité du tube de champ de façon à avoir R sa résistance.

Posté par re : Puissance dissipée 05-11-15 à 18:49

Bonjour Vanoise et merci de ta réponse si rapide !

Je me suis un peu mal exprimé. Ce qu'on cherche, ce n'est pas à prouver l'égalité $U_{AB}I_{AB}=RI_{AB}^2$   (on l'a démontré deux paragraphes auparavant, exactement comme tu l'as fait en plus) mais à prouver que la puissance absorbée par le conducteur est égale à $U_{AB}I_{AB}$ , sachant qu'on a démontré juste avant quelle était l'expression de la puissance absorbée volumique.

Dans la démonstration, l'idée est donc de partir de $U_{AB}I_{AB}$   pour arriver à $\int\int\int P_{absorbée}d\tau$   où $d\tau$ est un volume élémentaire.

Il y a donc juste l'égalité de $(V_A-V_b)I_{AB}=-\int\int V\vec{j}.d\vec{S}$ . J'imagine qu'il y a un rapport avec $dV=\vec{grad}V.d\vec{l}$   étant donné le signe moins qui apparait, mais j'arrive pas à savoir d'où ça sort.

Merci beaucoup !

Posté par re : Puissance dissipée 05-11-15 à 19:12

OK ! Je pense qu'il manque un d devant le V et le symbole d'une intégrale triple... Je m'explique. J'en reviens à mon tube de courant élémentaire :
$dI\cdot\left(V_{A}-V_{B}\right)=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}\int_{A}^{B}\left(-dV\right)=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}\cdot\int_{A}^{B}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}$
Le flux du vecteur densité de courant se conservant le long du tube de champ élémentaire, tu peux le "rentrer" dans l'intégrale :
$dI\cdot\left(V_{A}-V_{B}\right)=\int_{A}^{B}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}\cdot\overrightarrow{dl}$
On vient bien de faire apparaître la puissance volumique dissipée par effet Joule.
La démonstration pourrait s'arrêter là mais on peut aussi intégrer le résultat sur le tube de courant entier.